Differenciál

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A matematikai analízisben egy differenciálható függvény differenciáljának nevezzük azt a lineáris függvényt, mely a függvény növekményét legjobban közelíti. Gyakran ennek a lineáris függvénynek a növekményét is differenciálnak nevezik, ami tehát közelítő értéke a függvényérték két közeli pont közti eltérésének.

A differenciál kifejezés olyan értelemben is használatos mint egy függvény végtelen kicsiny megváltozása, miközben a független változót végtelen kis mennyiséggel megváltoztatjuk. Ezesetben vagy beletörődnünk, hogy a "végtelen kis mennyiség" kifejezés nem teljesen jól definiált, és intuíciónkra bízzuk értelmének kibontását, vagy a nemsztenderd analízishez fordulunk, mely halmazelméleti, modern logikai eszközökkel teszi pontossá a fogalom értelmezését.

Tartalomjegyzék

1 Definíció
- 1.1 Jelölések
2 A differenciál geometriai jelentése
3 Magasabbrendű differenciálok
- 3.1 Másodrendű differenciál
- 3.2 Magasabbrendű differenciálok
4 Többváltozós függvény differenciálja

[szerkesztés] Definíció

Legyen f a valós számok egy részhalmazán értelmezett függvény, a az f értelmezési tartományának egy belső pontja. Ekkor az f függvény a-beli differenciálhatóságával egyenértékű a következőkkel:

létezik olyan ε (az f értelmezési tartományán értelmezett) függvény, mely eltűnik a-ban (azaz ott folytonos és értéke 0), továbbá
van olyan A valós szám, hogy minden x-re az f értelmezési tartományából:

$f(x)=f(a)+A\!\cdot\!(x-a)+\varepsilon(x)\!\cdot\!(x-a)$

Az iménti képletben az ε(x) $\cdot$ (x-a) úgy nevezett másodrendűen kicsiny mennyiség a körül, azaz legalább az (x-a)² hatvánnyal osztva adhat csak 0-tól különböző határértéket. Ez azt jelenti, hogy az f függvényt felbontottuk egy lineáris részre:

$f(a)+A\cdot(x-a)\,$

és egy nemlineáris maradék részre:

$\varepsilon(x)\!\cdot\!(x-a)$

Ha az f fenti alakját deriváljuk (az egyenlőségből látható, hogy ε is differenciálható), akkor kapjuk, hogy:

$f'(x)=A+\varepsilon'(x)\!\cdot\!(x-a)+\varepsilon(x)$

vagyis az x = a esetben f '(a) = A. Az A szám tehát a derivált, az x - a = h helyettesítéssel nyert

$\mathrm{d}f(a):\;\;h \mapsto A\cdot h$

(homogén) lineáris leképezést pedig az f függvény a-beli differenciáljának nevezzük.

[szerkesztés] Jelölések

Az a pontban az f függvény, vagy másnéven az y = f(x) formula függvő változójának differenciálját

$df(a)\,$ vagy $df|_{x=a}\,$ vagy $dy|_{x=a}\,$

jeloli. A független változó differenciálját, ahogyan az x - a különbséget nevezik

$dx\,$

szimbolizálja. f-re tehát fennáll:

$f(x)=f(a)+df(a)+\varepsilon\cdot dx$

ahol mind df(a), mind ε függ x-től, bár ezt nem mindig szokás kiírni. Fontos tudnunk, hogy mind df(a), mind dx valódi, véges mennyiség szemben a nemsztenderd analízis használta differenciállal, mely végtelen kicsi.

Gyakran a differenciál jelöléséből az a-ra utaló jeleket elhagyják. x-re mint középpontra és dx-re mint eltérésre felírva a függvény megváltozását:

$\Delta f=f(x+dx)-f(x)=df+\varepsilon\cdot dx$

A differenciál definíciójából adódik, hogy a függő és független változó hányadosa éppen a derivált:

$\frac{df(a)}{dx}=\frac{f'(a)\cdot(x-a)}{x-a}=f'(a)$

ami jól illusztrálja, hogy a derivált kifejezést mért nevezik még differenciálhányadosnak is.

[szerkesztés] A differenciál geometriai jelentése

Rajzoljuk be a függvénygörbe egy P pontjához az érintőt (PS szakasz), tetszőleges dx távolsággal eltávolodva x-től a függvény f(x+dx) értéket vesz fel, míg az azt közelítő lineáris f(x)+dy értéket (S pont). A dx $\to$ 0 határértékben az f(x+dx)-f(x) különbség egyenlővé válik dy-nal, vagyis a lineáris közelítés annál jobb, minél kisebb dx-et választunk. Az ábrán a differenciált ábrázoló PRS háromszöget Leibniz-féle háromszögnek nevezzük.

[szerkesztés] Magasabbrendű differenciálok

[szerkesztés] Másodrendű differenciál

Ha feltesszük, hogy f az a pontban kétszer differenciálható, akkor az x $\mapsto$ ε(x) függvény is kétszer differenciálható lesz. Tekinthetjük tehát az f ' függvény differenciálját, melyet a következő egyenlet definiál:

$f'(x)=f'(a)+f''(a)\cdot(x-a)+ \delta(x)\cdot(x-a)$

ahol az utolsó tag másodrendűen kicsi a közelében. Ekkor a másodrendű, vagy második differenciál:

$d^2f(a)=f''(a)\cdot(x-a)^2$

Természetesen ekkor a szokásos dx = x - a jelöléssel érvényben van a következő összefüggés:

$\frac{d^2f(a)}{dx^2}=f''(a)$

A másodrendű differenciált is figyelembevéve f-re egy másodfokú közelítést adhatunk. Ha ε-t is "lineáris + nemlineáris" alakban írjuk fel, akkor f(x) alkalmas B számmal és a-ban nullához tartó x $\mapsto$ η(x) függvénnyel a következő alakban fejezhető ki:

$f(x)=f(a)+f'(a)\!\cdot\!(x-a)+(B\!\cdot\!(x-a)+\eta(x)\!\cdot\!(x-a))\!\cdot\!(x-a)$