Dini-derivált

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A matematika tudományában, közelebbről a matematikai analízisben, az alsó és felső Dini-derivált a derivált fogalmának kiterjesztése nem feltétlenül differenciálható, de azért még az analízis szempontjából értelmezhető tulajdonságú, például folytonos vagy Lipschitz-tulajdonságú függvények esetén.

[szerkesztés] Definíció

Ha f valós-valós függvény, akkor a Dini-féle felső deriválton az értelmezési tartomány egy x pontja esetén a következőket értjük:

$f'_+(x) = \lim_{h\rightarrow 0} \sup \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$

itt a limesz szuperior a következő függvénytani értelmben értendő:

$\lim_{\varepsilon \to 0} \sup \left\{ \frac{f(x + h) - f(x)}{h} : h \in \mathrm{Dom}(f) \cap B(0;\varepsilon) \right\}$

ahol Dom( f ) az f függvény értelmezési tartományát jelöli.

Másrészt a Dini-féle alsó derivált az értelmezési tartomány egy x pontjában:

$f'_-(x) = \lim_{h\rightarrow 0} \inf \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$

ahol a limesz inferior a következő:

$\lim_{\varepsilon \to 0} \inf \left\{ \frac{f(x + h) - f(x)}{h} : h \in \mathrm{Dom}(f) \cap B(0;\varepsilon) \right\}$

[szerkesztés] Megjegyzések

Természetesen, ahogy a derivált sem, ugyanúgy a Dini-derivált sem feltétlenül létezik, illetve véges. Ahol a függvény differenciálható, ott a hagyományos derivált és a Dini-deriváltak egyenlők.

Ha f lokálisan Lipschitz-tulajdonságú, akkor a Dini-deriváltak léteznek, és végesek. Ha ezen kívül f értelmezési tartománya kompakt, vagy f Lipschitz-tulajdonságú, akkor a Dini-derivált korlátos.

[szerkesztés] Példa az alkalmazásukra

Ez a deriváltfajta lényeges szerepet kap a Riemann-integrálhatóság elméletében. Például a határozott Riemann-integrál helyettesítési tételének érvényes egy olyan változata, amikor az érdeklődésünk homlokterében a transzformáló G függvény áll. Ha tehát feltesszük, hogy a lipschitzes G függvény a korlátos és zárt [a,b] intervallumot az ugyanilyen [α,β] intervallumba képezi olymódon, hogy G majdnem mindenhol erősen differenciálható és majdnem mindenhol injektív, akkor tetszőleges [α,β]-n Riemann-integrálható f esetén fennáll a következő integráltranszformációs tétel:

$\int\limits_{\alpha}^{\beta}f=\int\limits_a^b (f\circ G) \cdot g$