Euler-féle szám

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Az e matematikai állandó, a természetes logaritmus alapja. Irracionális és transzcendens szám. Értéke 29 értékes jegyre megadva:

e = 2,71828 18284 59045 23536 02874 7135...

A π és a képzetes egység i mellett e az egyik legfontosabb állandó a matematikában.

Az e szám Euler-féle számként is ismert Leonhard Euler matematikus után, de Napier-állandónak is nevezik John Napier skót matematikusnak, a logaritmus függvény felfedezőjének tiszteletére.

[szerkesztés] Definíció

Az e legismertebb definíciói a következőek:

1. Az e a következő sorozat határértéke:

$e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}.$

2. Az e a következő végtelen sor összege:

$e = \sum_{n=0}^\infty {1 \over n!} = {1 \over 0!} + {1 \over 1!} + {1 \over 2!} + {1 \over 3!} + {1 \over 4!} + \cdots$

ahol n! a faktoriálisa az n természtes számnak.

3. Az e az a pozitív valós szám, amelyre

$\int_{1}^{e} \frac{1}{t} \, dt = {1}.$

[szerkesztés] Tulajdonságok

Az e^x exponenciális függvény az egyetlen függvény (konstanssal való szorzás erejéig), amely önmaga deriváltja, és így önmaga primitív függvénye:

$\left(e^x\right)'=e^x$ és

$\int e^x\,dx=e^x + C$ , ahol C konstans.

Az e irracionális (bizonyítás) és transzcendens szám (bizonyítás). Az első szám volt, amiről bebizonyították, hogy transzcendens (kivéve azokat a számokat amiket szándékosan transzcendensre konstruáltak). A bizonyítást Charles Hermite 1873-ban végezte el. Sejtések szerint normális szám, azaz számjegyei véletlen eloszlás szerint fordulnak elő. Szerepel az Euler-féle képletben, amely az egyik legfontosabb matematikai azonosság:

$e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x) \,\!$