Fermat-tétel (analízis)

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Ez a szócikk Piere Fermat egy, a deriváltra vonatkozó állításáról szól. Fermat számelméleti tételeit lásd itt: Fermat-tétel.

A matematikai analízis Fermat tétele szükséges feltételt szab egy differenciálható függvény lokális szélsőértékének létezéséhez. A tétel szerint egyváltozós, differenciálható függvény lokális maximumának vagy minimumának helyét, az értelmezési tartománya belső pontjában csak ott találhatjuk, ahol a függvény deriváltja nulla.

[szerkesztés] Motiváció

A tétel rendkívül szemléletes, hiszen azt mondja, hogy bizonyos feltételek teljesülése esetén maximum illetve minimum csak ott lehet, ahol a függvény grafikonjához rajzolt érintő „vízszintes”. Személetünk alapját a polinomfüggvények és az analitikus függvények alkotják, melyek a történetileg kialakult függvényfogalmak legkorábbi típusai. Polinomfüggvény esetén, ha u-ban lokális minimum van, akkor van u-t megelőzően egy olyan intervallum, melyben f szigorúan monoton csökken, illetve ott a derivált negatív és u-t követően egy olyan intervallum, ahol f szigorúan monoton nő, illetve ahol a derivált pozitív. Mivel ekkor a deriváltfüggvény is folytonos, ezért Bolzano tétele miatt u-ban f ' -nak fel kell vennie a nulla értéket, nullának kell lennie. Valójában egy intervallumon értelmezett deriváltfüggvény mindig teljesíti a Darboux-tulajdonságot, azaz definíció szerint igaz rá a Bolzano-tétel állítása, így ha olyan a függvény, hogy u előtt a derivált negatív, u-t követően pedig pozitív, akkor ebből f '(u) = 0 kell hogy következzen. Nem kell azonban feltennünk még azt sem, hogy legyen u előtt és után olyan intervallum, ahol a derivált negatív illetve pozitív, ami szerencse is, hiszen vannak a modern függvényfogalomnak olyan esetei, amikor ez nem teljesül. A Fermat-tétel az előbb említetteknél jóval gyengébb, pusztán lokális megszorításokat tartalmazó feltételek mellett is igaz. A bizonyításban ekkor szerephez jutnak olyan elemek, melyek a függvény, a függvényhatárérték és a differenciálhatóság definíciójának kontraintuitív tartalmait képviselik, így lesz igaz a nem intuitív esetekben is az intuitív tétel.

[szerkesztés] A tétel

Legyen f valós-valós függvény, u az értelmezési tartománya belső pontja. Ha u-ban f-nek lokális maximuma vagy lokális minimuma van, akkor ott deriváltja nulla:

$f'(u)=0\,$

[szerkesztés] Bizonyítás

[szerkesztés] A derivált definíciójából

Tegyük fel, hogy u-ban a függvénynek lokális minimuma van (ellenkező esetben alkalmazzuk a tételt -f -re). Legyen V olyan nyílt környezete u-nak, ahol f értékei nem kisebbek mint f(u) (azaz a minimumérték). Tetszőleges, V-beli és az értelmezési tartománybeli olyan x-szel, melyre x > u teljesül:

$f(x)-f(u)\geq 0\,$

így

$\frac{f(x)-f(u)}{x-u}\geq 0$

tehát a határérték és a rendezés tulajdonságai miatt:

$f'(u)=\lim\limits_{x\to u+}\frac{f(x)-f(u)}{x-u}\geq 0$

ahol az egyenlőség az u-beli differenciálhatóság miatt igaz.

Hasonlóképpen, ha x olyan V-beli, hogy x < u, akkor

$f(x)-f(u)\geq 0\,$ ,

$\frac{f(x)-f(u)}{x-u}\leq 0$

tehát a határérték és a rendezés tulajdonságai miatt:

$f'(u)=\lim\limits_{x\to u-}\frac{f(x)-f(u)}{x-u}\leq 0$

f'(u) ≥ 0 és f'(u) ≤ 0 miatt pedig:

$f'(u)=0\,$ . ■

Megjegyzés. A bizonyításból kiderül, hogy a tétel akkor is igaz, ha u nem feltétlenül belső pontja az értelmezési tartománynak, hanem olyan pontja, mely mind baloldali, mind jobboldali torlódási pontja. Természetesen ekkor a derivált definícióját ki kell terjeszteni az ilyen pontokra. Ekkor azonban fontos megjegyezni, hogy például egy intervallum két vépontjára, mint u-ra felírva nem teljesül a Fermat-tétel feltétele (ahogy nem is igaz a tétel sem!).

[szerkesztés] Átviteli elvvel

A határértékre vonatkozó átviteli elvet általában akkor célszerű használni, ha tudjuk, hogy egy adott határérték létezik, csak meg kell állapítanunk az értékét. A mostani pont ez a szituáció.

Legyen B(u,δ) olyan környezete u-nak, mely teljes egészében az értelmezési tartományban van és melyre leszűkítve f-et u-ban minimuma van. Legyen

$x_n:=(-1)^n\frac{\delta}{n}$

Az u-beli differenciálhatóság és az átviteli elv miatt a lent szereplő határértékek léteznek és a következő egyenlőtlenségek igazak rájuk:

$f'(u)=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{f(u+x_{2n+1})-f(u)}{x_{2n+1}}\leq 0\leq\lim\limits_{n\to\infty}\frac{f(u+x_{2n})-f(u)}{x_{2n}}=f'(u)$

ahonnan f '(u) = 0 következik. ■

[szerkesztés] A nemsztenderd analízis eszközeivel

A differenciálhatóságból következik, hogy létezik olyan c sztenderd valós szám, hogy tetszőleges h végtelenül kicsiny nemsztenderd számra:

$c\cong \frac{f(u+h)-f(u)}{h}$

Tegyük fel, hogy u-ban a függvénynek lokális minimuma van (ellenkező esetben alkalmazzuk a tételt -f -re). Ebből következik, hogy tetszőleges h pozitív végtelenül kicsiny számra:

$c\cong \frac{f(u-h)-f(u)}{-h} \leq 0\leq \frac{f(u+h)-f(u)}{h}\cong c$

így

$c\cong 0$

, amiből – tekintve, hogy c sztenderd szám – a kívánt f '(u) = c = 0 egyenlőség következik. ■

[szerkesztés] Többdimenziós általánosítás

Kétváltozós, valós értékű differenciálható függvény esetén a Fermat-tétel szemléletes jelentése, hogy a szélsőértékekhez rajzolt érintősík „vízszintes”.

Ha f valós értékű, az U ⊆ R² nyílt halmazon értelmezett differenciálható függvény, és az U halmaz egy u pontjában minimuma vagy maximuma van, akkor df(u)=0 illetve a parciális deriváltakra:

$\frac{\partial f(u)}{\partial x}=0$ és $\frac{\partial f(u)}{\partial y}=0$

(mindez a szükséges változtatásokkal R^m-ben is igaz).

Bizonyítás. A tétel az egyváltozós tétel következménye, hiszen ha feltesszük a totális differenciálhatóságot, akkor a parciális deriváltak is léteznek és a differenciál leképezés nem lesz más mint az a lineáris leképezés, amit a parciális deriváltakból álló sormátrix (f Jacobi-mátrixa) meghatároz. Ha tehát szélsőértéke van u=(u₁,u₂)-ben f-nek, akkor az f( . ,u₂) parciális függvénynek is szélsőértéke van u₁-ben és az f(u₁, . ) parciális függvényeknek is szélsőértéke van u₂-ben, tehát deriváltjaik az adott pontban nullák.