Implicitfüggvény-tétel

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Az implicitfüggvény-tétel a matematikai analízis, közelebbről a differenciálelmélet leghatékonyabban alkalmazható tétele olyan feladatokra, amikor egy adott nemlineáris egyenletrendszer megoldásait próbálják megkeresni. Legegyszerűbb esetben arról van szó, hogy egy síkbeli görbe egyenletéből kifejezhető-e az y változó az x segítségével, és ezzel megadható-e a görbe egy szakasza függvénygrafikonként.

Tartalomjegyzék

1 Bevezetés
2 Az egyváltozós eset
- 2.1 Kapcsolat az inverzfüggvény-tétellel
- 2.2 Példák
3 Többváltozós eset
4 Hivatkozások
- 4.1 Jegyzetek
- 4.2 Külső hivatkozások

[szerkesztés] Bevezetés

Implicit megadású függvényről akkor beszélünk, amikor egy függvény megadása nem (az explicit módon) y = f(x) alakban történik, hanem az x és y kapcsolatát egy mindkét változót tartalmazó

$F(x,y) = 0 \,$

egyenlet írja le. A fogalom Cauchytól származik (1823) ^[1].

Például adjunk meg olyan függvényt, melynek grafikonja valamely kör egy szakasza. Az

$x^2+y^2=1\,$

egyenletű körből könnyű az y változót kifejezni, az $\mbox{ }_{y=\sqrt{1-x^2}}$ és $\mbox{ }_{y=-\sqrt{1-x^2}}$ alakokat kapjuk. Bonyolultabb esetekben, például a

$\sin y =x\,$

esetén semmi reményünk, hogy az y változóra valamilyen egyenletrendezéssel általános képletet kapjunk. Az ilyen példák miatt nevezik ezeket a típusú függvényeket implicit, avagy régi, választékos kifejezéssel élve bennrekedt függvényeknek. A differenciálszámítás szempontjából megelégedhetünk azzal, ha az implicit függvény deriváltját ki tudjuk számolni. Sok esetben ebből már következtethetünk a függvényre vagy annak viselkedésére is.

A modern analízis szemszögéből egy N × M $\rightarrow$ K normált terek között ható F függvény a ∈ N és b ∈ M pontokhoz tartozó implicit függvényén olyan, az a egy U környezetén értelmezett és a b egy V környezetébe képező f:U $\rightarrow$ V függvényt értünk, melyre f(a)=b és minden x ∈ U pont esetén rendelkezik az

$F(x,f(x))=0\,$

tulajdonsággal. Amelyet szavakban úgy fogalmazhatunk meg, hogy az F(x,y)=0 egyenletből az y változó kifejezhető y=f(x) alakban.

Tágabb értelemben egy F : H × K $\rightarrow$ L kétváltozós halmazelméleti függvény (a,b) ∈ H × K párhoz tartozó implicit függvénye olyan f, a H egy részhalmazán értelmezett, K-ba képező függvény, mely a-ban értelmezve van, f(a)=b és minden az értelmezési tartományába tartozó x pontra: F(x,f(x))=F(a,b).

[szerkesztés] Az egyváltozós eset

Tétel – Implicitfüggvény-tétel R-beli implicit függvényre – Legyen F az R² egy részhalmazán értelmezett, R-be képező függvény, mely az értelmezési tartománya egy (a,b) belső pontjában erősen differenciálható, F(a,b) = 0 és

$\partial_2 F(a,b)\neq 0$

(azaz (a,b)-ben az y szerinti parciális deriváltja nem nulla). Ekkor van a-nak olyan $I$ és b-nek olyan $J$ környezete, hogy F-nek egyértelműen létezik az (a,b) párhoz tartozó f: $I$ $\rightarrow$ $J$ implicit függvénye, mely erősen differenciálható a-ban és deriváltja:

$f'(a)=-\frac{\partial_1 F(a,b)}{\partial_2 F(a,b)}$

Bizonyítás. A (a,b)-beli erős differenciálhatóságból következik, hogy F folytonosan differenciálható (a,b)-ben. Választhatunk tehát olyan $I$ és J nyílt intervallumokat, a és b körül, hogy $I$ × J-n ∂₂F sehol sem nulla, azonos előjelű. Feltehetjük, hogy ∂₂F pozitív. Vegyük észre, hogy az implicit függvény létezése egyenértékű azzal, hogy minden x ∈ $I$ -re az F( x , . ) parciális függvénynek zérushelye van J-ban, hiszen ekkor minden x-hez létezik olyan y ∈ J, hogy F(x,y)=0. Belátjuk, hogy minden ilyen x-hez egyetlen zérushelye van F( x , . )-nek.

Az F kétváltozós függvény (a,b)-beli érintősíkja és az xy sík metszete közel egybeesik az implicit függvény görbéjével. Az érintősíknak ebből a felülethez simuló tulajdonságából vezethető le az implicitfüggvény-tétel. Egy esetben nem állíthatjuk általánosan, hogy létezik ilyen függvény, ha a síkok metszésvonala párhuzamos az y tengellyel. Ekkor nem feltétlenül létezik az y=f(x) implicit függvény, vagy legalábbi is biztosan nem differenciálható.

Tekintsük a folytonos F( a , . ) parciális függvényt. Az erős differenciálhatóságból és a pozitívra választott deriváltból következik, hogy ez $I$ -n szigorúan monoton növekvő. Mivel b-ben zérushelye van ( F(a,b)=0 ), ezért van olyan $y 2$ > b pont, hogy ott F( a , . ) pozitív és $y 1$ < b pont, hogy ott F( a , . ) negatív. Ekkor F folytonossága miatt van az (a, $y 1$ ) pontnak olyan környezete, ahol F negatív és van az (a, $y 2$ ) pontnak olyan környezete, ahol F pozitív. Most definiáljuk át $I$ -t és J-t úgy, hogy $I$ × J-n az F egy J-beli elem fölött mindenhol pozitív, egy J-beli elem alatt mindehol negatív értéket vegyen föl.

Az erős differenciálhatóságból az is következik, hogy minden x ∈ $I$ -re az F( x , . ) függvény is szigorúan monoton növekvő, negatív és pozitív értéket is felvevő folytonos függvény, így a Bolzano-tétel alapján létezik $y x$ zérushelye és mindegyiknek egyetlen zérushelye létezik. Állítjuk, hogy a φ: $I$ $\rightarrow$ J, x $\mapsto$ $y x$ függvény implicit függvénye F-nek, azaz minden x ∈ $I$ -re F(x,φ(x))=0.

Könnyen belátható, hogy φ folytonos a-ban, hiszen ha a-hoz közeledve mindig találnánk olyan x pontot, hogy φ(x) egy adott ε-nál mindig jobban eltér b-től, akkor φ(x) egy olyan környezetbe esne bele, ahol F mindenhol egy pozitív számnál nagyobb vagy mindenhol egy negatív számnál kisebb. Ám, F(x,φ(x))=0, így ez ellentmondana F folytonos tulajdonságának.

φ erősen differenciálható (a,b)-ben, hiszen tetszőleges $x 1$ , $x 2$ ∈ $I$ -re az F erős differenciálhatósága miatt fennáll

$0=F(x_1,\varphi(x_1))-F(x_2,\varphi(x_2))=$

$=\partial_1F(a,b)(x_2-x_1)+\partial_2F(a,b)(\varphi(x_2)-\varphi(x_1))+$

$+\varepsilon\cdot(x_2-x_1)+\eta\cdot(\varphi(x_2)-\varphi(x_1))$

azaz (a pozitív ∂₂F(a,b) miatt pozitívra választható ∂₂F(a,b)+η miatt):

$\frac{\varphi(x_2)-\varphi(x_1)}{x_2-x_1}=-\frac{\partial_1F(a,b)+\varepsilon}{\partial_2F(a,b)+\eta}$

és innen ( $x 1$ , $x 2$ ) $\to$ (a,a) határátmenetet véve, a másodendű tagok eltűnését követően kapjuk az állítás eredményét. ■

Felhívjuk a figyelmet arra, hogy az implicit függvény értékére fennáll ugyan a

$\mbox{ }_{\varphi(x)=\varphi(a)-\frac{\partial_1F(a,b)+\varepsilon}{\partial_2F(a,b)+\eta}(x-a)}$

egyenlőség, de mivel ε és η ki nem írt argumentumaiban szerepel φ(x), ezért ez sem egy explicit alak.

[szerkesztés] Kapcsolat az inverzfüggvény-tétellel

Vegyük észre, hogy mivel mindegyik F( x , . ) parciális függvény szigorúan monoton, így az (x,y) $\mapsto$ (x, F(x,y)) függvény is injektív. Érdemes tahát az inverzét felírni, az (x,z) $\mapsto$ (x,y) függvényt. Mivel minden egyes x és z pontra egyetlen y van, hogy F(x,y)=z, ezért z=0 esetén is minden x-hez egyetlen y van, hogy F(x,y)=0, mely az F implicit függvényét szolgáltatja. Ennek a függvénynek a szükséges differenciálhatósági tulajdonságainak bizonyításához hatékonyan használhatjuk fel az inverzfüggvény-tételt. Nem véletlen a kapcsolat a két tétel között. Az előző bizonyítást és a többváltozós eset bizonyítását is végezhetjük az inverzfüggvény-tétellel, sőt az utóbbi esetben csak ezzel. Másrészt az is igaz, hogy a két tétel állítása ekvivalens egymással.

[szerkesztés] Példák

Tekintsük a következő egyenletű síkgörbét:

$x^5+xy+y^5=3\,$

Nem lenne könnyű feladat kifejezni belőle y-t, mert az ötödfokú egyenletnek nincs általános megoldóképlete. Mivel a baloldal akárhányszor differenciálható, ezért joggal feltételezhetjük, hogy bizonyos pontokban létezik implicit függvénye. Tegyük fel, hogy φ ilyen függvény. Ekkor az egyenlet

$x^5+x\varphi(x)+(\varphi(x))^5=3$

alakú, melynek minden olyan x-nél, ahol φ differenciálható:

$5x^4+\varphi(x)+x\varphi'(x)+5\varphi^4(x)\cdot\varphi'(x)=0$

ahonnan a derivált: $\varphi'(x)=-\frac{5x^4+\varphi(x)}{5\varphi^4(x)+x}$ vagy szimbolikusan: $y'=-\frac{5x^4+y}{5y^4+x}$ . Alaposabb vizsgálatokkal kideríthető, hogy ez a derivált minden pontban létezik és negatív, így az implicit függvény mindenhol létezik és szigorúan monoton csökkenő. Vegyük észre, hogy a nevezőben lévő kifejezés pont ∂_yF(x,y) és az implicit függvény létezésének feltétele pont a nevező nullától különböző volta.

[szerkesztés] Többváltozós eset

Ebben az esetben is az „érintősík” végtelenül közelítő tulajdonsága játszik majd fontos szerepet. Jól látható az összefüggés, ha feltesszük, hogy F egy Rⁿ×R^m-en értelmezett affin függvény, azaz egy lineáris leképezés eltoltja. Ekkor

F(x,y) = F(a+h,b+k) = F(a,b)+dF₁(a,b)h+dF₂(a,b)k.

Amennyiben y = y(x) olyan, hogy y(a) = b és F(x,y(x)) = 0, akkor fennáll a 0 = dF₁(a,b)h + dF₂(a,b)k egyenlőség és k kifejezhető, amennyiben az A = dF₂(a,b) mátrix invertálható. A B = dF₁(a,b) jelöléssel ekkor

k = -(A^-1 $\cdot$ B) h.

Általános esetben ez csak egy másodrendűen kicsiny tag hozzávételével lesz igaz, de az implicit függvény létezésének belátásához szükséges a fenti gondolatmenet is.

Banach-terek esetén (melyek akár végtelen dimenziósak is lehetnek) a tétel a következő.

Tétel – Implicitfüggvény-tétel Banach-terekre – Legyen E, H, G Banach-terek, F:E × H $\rightarrow$ G olyan függvény, mely (a,b) ∈ E × H-ban erősen differenciálható. Ha a ∂₂F(a,b) lineáris leképezés injektív és az inverzével együtt folytonos, akkor egyértelműen létezik az F-nek egy az (a,b) párhoz tartozó f lokális implicit függvénye, ez erősen differenciálható a-ban és differenciálja:

$df(a)=-(\partial_2 F(a,b))^{-1}\circ(\partial_1 F(a,b))$

Vagy egy kevésbé absztrakt tétel:

Tétel – Implicitfüggvény-tétel Rⁿ-re – Legyen F:Rⁿ×R^m $\rightarrow$ R^m folytonosan differenciálható függvény, (a,b) ∈ Rⁿ×R^molyanok, hogy F(a,b)=0 és $\mbox{ }_{\det\left(\frac{\partial F_i(a,b)}{\partial y_k}\right)_{i,k=1,...,m}\ne 0}$ . Ekkor egyértelműen létezik F-nek egy az (a,b)-hez tartozó lokális implicit függvénye.