Parciális derivált

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A matematikai analízisben parciális deriváltnak nevezzük a többváltós függvények olyan deriváltját, amikor a függvényt egy rögzített változójának függvényeként fogjuk fel, eszerint deriválunk, miközben a többi változójelet konstans értéknek tekintjük. A többváltozós függvények parciális deriváltja az egyváltozós differenciálás hasznos általánosítása, a Fréchet-deriválttal együtt. Ha nem csak a szokásos módon, az Rⁿ térben és annak n kitüntetett iránya mentén kívánjuk értelmezni a parciális derivált fogalmát, akkor két módon általánosíthatjuk. Az egyik az iránymenti derivált, a másik a lokálisan kompakt terekben alkalmazható Gateaux-derivált.

[szerkesztés] Definíció

Adott, nyílt halmazon értelmezett

$f:\mathbb{R}^n\mapsto\mathbb{R}, (x_1, x_2, ..., x_n)\mapsto f(x_1, x_2, ..., x_n)$

n változós valós értékű függvény x₁ változó szerint parciálisan differenciálható az értelmezési tartománya egy rögzített

$(u_1, u_2, ..., u_n)\,$

pontjában, ha az egyváltozós

$f(\,.\,,u_1, u_2, ..., u_n):\;\mathsf{x_1}\mapsto f(\mathsf{x_1}, u_2, u_3, ..., u_n)$

(ú. n. parciális-) függvény differenciálható az u₁ helyen. Ekkor az előbbi parciális függvény u₁-beli deriváltját az f függvény x₁ szerinti parciális deriváltjának nevezzük. Hasonlóképpen értelmezhető az x₂, x₃, ... , x_n szerinti parciális derivált, mely rendre az f(u₁ , $\cdot$ ,u₃,...,u_n), f(u₁,u₂, $\cdot$ ,u₄, ..., u_n), ... , f(u₁, u₂,..., $\cdot$ ) parciális függvények deriváltjai.

[szerkesztés] Jelölés

Ha az f függvény értelmezési tartományának minden alkalmas pontjához hozzárendeljük az ottani parciális deriváltat, akkor szintén egy többváltozós függvényhez jutunk. A parciális derivált függvényeknek elég sok jelölésük van, melyek mindegyike adott esetben lényegesen megkönnyítheti az írásmódot. Az x₁, x₂, ... , x_n vagy x, y, z, ..., w változóktól függő f függvény parciális derivált függvényei:

$\partial_{1}f$ , $\partial_{2}f$ , ... , $\partial_{n}f$ ,

$\partial_{x}f$ , $\partial_{y}f$ , ... , $\partial_{w}f$ ,

$\frac{\partial f}{\partial x}$ , $\frac{\partial f}{\partial y}$ , $\frac{\partial f}{\partial z}$ , ... , $\frac{\partial f}{\partial w}$ ,

$f'_x\,$ , $f'_y\,$ , $f'_z\,$ , ... , $f'_w\,$

Egy z = f(x,y) kétváltozós függvény parciális deriváltjai egy adott (x0, y0) pontban a változókhoz tartozó parciális függvények deriváltjaiként értelmezhetők. A függvénygrafikonból ez geometriailag úgy származtatható, hogy az x = x0 illetve az y = y0 egyenletű síkokkal elmetszük a függvény által meghatározott felületet és a keletkezett görbéknek, mint egyváltozós függvényeknek meghatározzuk a deriváltjait a keresett pontban. (Az ábrán az f(x,y)= sin(x2+y2)/(x2+y2), f(0,0)=1 függvény grafikonja látható, és az (1,-1) ponthoz tartozó f( . ,-1) és f(1, . ) parciális függvények.)

Egy z = f(x,y) kétváltozós függvény parciális deriváltjai egy adott (x₀, y₀) pontban a változókhoz tartozó parciális függvények deriváltjaiként értelmezhetők. A függvénygrafikonból ez geometriailag úgy származtatható, hogy az x = x₀ illetve az y = y₀ egyenletű síkokkal elmetszük a függvény által meghatározott felületet és a keletkezett görbéknek, mint egyváltozós függvényeknek meghatározzuk a deriváltjait a keresett pontban. (Az ábrán az f(x,y)= sin(x²+y²)/(x²+y²), f(0,0)=1 függvény grafikonja látható, és az (1,-1) ponthoz tartozó f( . ,-1) és f(1, . ) parciális függvények.)

[szerkesztés] Deriválási szabályok

Linearitás: $\partial_i(\lambda f + \mu g)(x)=\lambda\partial_if(x)+\mu\partial_i g(x)$

Szorzat: $\partial_i(f\cdot g)(x)=\partial_if(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot\partial_ig(x)$

Projekciófüggvények: $\partial_i x_k=\delta_{ik}$ /Kronecker-delta/

Függvénykompozíció: $\partial_i(\varphi\circ f)(x)=\varphi'(f(x))\cdot \partial _if(x)$ , $\partial_i(f\circ F)(x)=\sum\limits_{k=1}^{m}(\partial_k f)(F(x))\cdot\partial_iF_k(x)$

ahol φ:R $\rightarrow$ R differenciálható, F: R^m $\rightarrow$ Rⁿ komponensfüggvényenként parciálisan differenciálható függvény.

[szerkesztés] Példa

Az adott térfogatú téglatestek közül melyiknek a legkisebb a felszíne, tehát milyen legyen a téglatest a, b és c éle, hogy eleget tegyen a

$V=a\cdot b\cdot c=const.\,$

$A=2ab+2ac+2bc=min.\,$

feltételnek?

Az első egyenletből a=V/(bc). Ezt a felszín képletébe írva a következő kétváltozós függvényt kapjuk:

$A(b,c)=2\frac{V}{b}+2bc+2\frac{V}{c}$

Ennek kell megkeresni a minimumát, mely ha elképzeljük a kétváltozós függvényt, akkor olyan pont, ahol a felülethez rajzolt érintősík "vízszintes". Ez viszont pont akkor van, amikor a parciális függvények érintői szintén mindketten "vízszintesek", azaz ahol teljesül: ∂_bA = 0 és ∂_cA = 0, tehát:

$\frac{\partial A}{\partial b}=\frac{-2V}{b^2}+2c=0$ és

$\frac{\partial A}{\partial c}=\frac{-2V}{c^2}+2b=0$

ahonnan V = b²c = bc², vagyis c = b és V = b³, ez viszont azt jelenti, hogy a = b = c, azaz a keresett test a V térfogatú kocka.

[szerkesztés] Kapcsolat a teljes differenciállal

Ha egy f:Rⁿ $\mapsto$ R függvény totálisan differenciálható az értelmezési tartománya egy u pontjában, akkor abban a pontban minden parciális deriváltja létezik. Ez ugyan megfordítva nem teljesül, de a teljes differenciálhatóságnak egyfajta elégséges feltételét megfogalmazhatjunk. Ha az u pontban az összes parciális derivált létezik és legfeljebb egy kivételével a parciális derivált függvények folytonosak u-ban, akkor f totálisan differenciálható.

A parciális deriváltak arra is jók, hogy felírhassuk segítségükkel a differenciál leképezés mátrixát. A differenciál mátrixa a J^f(u)_ik=∂_kf_i(u) Jacobi-mátrix lesz, ahol f_i függvény az f:R^m $\mapsto$ Rⁿ függvény i-edik komponensfüggvénye.

A lap eredeti címe "http://hu.wikipedia.org../../../p/a/r/Parci%C3%A1lis_deriv%C3%A1lt.html"

Kategória: Differenciálszámítás