Condizione necessaria e sufficiente

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In logica, le espressioni necessario e sufficiente descrivono le condizioni di una proposizione. Una condizione necessaria e sufficiente di una proposizione è quell'evento che è vero se e solo se la proposizione è vera.

La condizione necessaria è quella che deve essere soddisfatta affinché la proposizione sia vera. Formalmente, una proposizione P è una condizione necessaria per Q se Q implica P. Ad esempio, la facoltà di respirare è necessaria per continuare a vivere: se non si avesse possibilità di respirare, non si sarebbe più vivi. Il respiro non è sufficiente per rimanere in vita, perché si può morire anche respirando. È necessario che un numero primo maggiore di due sia dispari, ma non è sufficiente per p essere dispari per essere primo.

La condizione sufficiente è quella che, se soddisfatta, garantisce la verità della proposizione. Formalmente, una proposizione P è sufficiente per Q se P implica Q. Ad esempio, saltare è sufficiente per abbandonare il suolo, ma non è necessario per abbandonare il suolo, in quando ci si può innalzare in vari modi. La possibilità di un numero di essere diviso per sei è sufficiente affinché il numero sia pari, ma non è necessaria (esistono numeri pari non divisibili per sei).

Alcune condizioni possono essere necessarie e sufficienti. Ad esempio, per una matrice, il fatto che il suo determinante sia diverso da zero è condizione necessaria e sufficiente affinché essa sia invertibile.

Indice

1 Condizioni necessarie
2 Condizioni sufficienti
3 Relazione tra "necessario" e "sufficiente"
4 Condizioni necessarie e sufficienti
5 Collegamenti esterni
6 Voci correlate

[modifica] Condizioni necessarie

Il lampo è necessario e sufficiente per il tuono, e viceversa. Questo avviene perché entrambi gli accadimenti sono parte dello stesso fenomeno.

Per capire se P è necessaria per Q bisogna chiedersi se vale la formulazione "se P non è vera, allora Q non è vera". Per contrapposizione, questo è uguale a dire "ogni volta che Q è vera, anche P è vera". La relazione logica tra di esse è espressa da "Se Q allora P" (in inglese: "If Q, then P") o "Q $\Rightarrow$ P" (Q implica P), e si può anche trovare scritta come "P, se Q", "P ogni volta che Q" o "P quando Q". In molti casi, una condizione necessaria è parte di una gamma di condizioni, come mostrato nell'esempio 3.

Esempio 1: Si consideri la proposizione "Essere un dittatore è necessario per essere presidente a vita"; se non si è dittatore, allora è impossibile ricoprire tale carica, ma se si ricopre tale carica, allora si è automaticamente dittatore.

Esempio 2: Si supponga che ogni lampo causi un tuono (per quanto debole possa essere il tuono) e si supponga che per "tuono" si intenda il suono causato dal lampo. Allora si potrebbe dire che "il tuono è necessario per il lampo", perché se non ci fosse alcun tuono, allora non ci sarebbe alcun lampo. Cioè, se avviene il lampo, allora deve crearsi anche un tuono.

Esempio 3: Come esempio di condizione non necessaria, si consideri un rettangolo e un quadrato. Si noti che essere un quadrato non è condizione necessaria per essere rettangolo, in quanto ci sono rettangoli che non sono quadrati. D'altra parte, essere un rettangolo è necessario per essere un quadrato, con l'ulteriore condizione dei lati uguali.

Esempio 4: Un alimentatore funzionante è necessario per il funzionamento di un computer.

[modifica] Condizioni sufficienti

Affermare che P è sufficiente per Q equivale a dire che "se P è vera, allora Q è vera", oppure che "ogni qualvolta si avvera P, si avvera anche Q". La relazione logica è espressa dall'espressione "Se P allora Q" (o in inglese: "If P then Q"), oppure "P $\Rightarrow$ Q", e si può anche trovare scritta come "P implica Q."

Esempio 1: Per semplicità, si supponga che ogni persona sia biologicamente maschio o femmina, e che un padre sia un maschio biologico che ha dato vita a un figlio. Allora "essere padre" è condizione sufficiente per essere maschio.

Esempio 2: Come nel paragrafo precedente, si supponga che il tuono sia causato dal lampo. Allora "il tuono è sufficiente per il lampo", perché se si sente un tuono, allora deve essere stato generato da qualche lampo.

Esempio 3: Come esempio di condizione non sufficiente, si consideri l'esempio "uomo/donna". Essere uomo non è sufficiente per essere padre, perché ci sono uomini che non hanno figli.

Esempio 4: Un computer funzionante è condizione sufficiente per supporre che esista un alimentatore funzionante, un monitor funzionante etc.

Esempio 5: Essere un quadrato è sufficiente per essere un rettangolo, ed è anche sufficiente per avere i lati di uguale lunghezza.

[modifica] Relazione tra "necessario" e "sufficiente"

La proposizione "P è sufficiente per Q" è lo stesso che dire "Q è necessario per P", perché in entrambe le proposizioni "P implica Q".

Esempio: "Essere un rettangolo è necessario per essere un quadrato". Di conseguenza, "essere un quadrato è sufficiente per essere un rettangolo".

[modifica] Condizioni necessarie e sufficienti

Dire che P è necessaria e sufficiente per Q equivale a dire due cose:

P è necessaria per Q (P $\Leftarrow$ Q)
P è sufficiente per Q (P $\Rightarrow$ Q)

Ad esempio, se Maria mangia sempre carne di lunedì, ma mai in ogni altro giorno, si può dire che "essere lunedì è condizione necessaria perché Maria mangi carne". Questo è vero perché Maria non mangia carne in nessun altro giorno che non sia lunedì. Ma "essere lunedì è condizione sufficiente perché Maria mangi carne", perché è vero che Maria mangerà sempre carne il lunedì.

Considerando l'esempio tuono/lampo come mostrato nelle precedenti sezioni, "il tuono è necessario per il lampo", perché se non ci sono tuoni, allora non ci sono stati lampi che li hanno creati. "Il tuono è sufficiente per il lampo" perché il tuono deve essere stato originato da un lampo.

La relazione tra essere un quadrato ed essere un rettangolo non è necessaria e sufficiente, nonostante l'ordinamento delle condizioni "quadrato" e "rettangolo". "Essere un rettangolo è necessario per essere quadrato", e "essere un rettangolo non è sufficiente per essere quadrato". "Essere un quadrato è sufficiente per essere un rettangolo", ma "essere un quadrato non è necessario per essere un rettangolo". Come mostrato nelle Condizioni necessarie (Esempio 3) e nelle Condizioni sufficienti (Esempio 5), ci sono condizioni multiple coinvolte nella relazione rettangolo-quadrato.

Nel calendario gregoriano, c'è un esempio di questo concetto. Febbraio è l'unico mese che ha meno di 30 giorni, così la relazione si può utilizzare in due modi: si può associare l'idea "febbraio - meno di 30 giorni" oppure "meno di 30 giorni - febbraio". Se si specifica però la durata del mese (28 o 29 giorni), allora si deduce immediatamente che si sta parlando di febbraio, ma se si menziona febbraio, è necessaria qualche altra indicazione (l'anno) per sapere se possiede 28 o 29 giorni.

"P è necessaria e sufficiente per Q" esprime lo stesso concetto di "P sse Q" (P $\Leftrightarrow$ Q).