Criterio di convergenza di Cauchy

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Il criterio di convergenza di Cauchy è un teorema di analisi matematica riguardante le successioni.

Indice

1 Enunciato
- 1.1 Dimostrazione
2 Criterio di convergenza per le serie
3 Voci correlate

[modifica] Enunciato

Il criterio di convergenza di Cauchy asserisce che

Una successione ${a n}$ di numeri reali ha limite finito se e solo se è di Cauchy.

Una successione convergente è sempre di Cauchy, in ogni contesto. La proprietà essenziale che garantisce l'implicazione opposta è la completezza dei numeri reali.

[modifica] Dimostrazione

Innanzitutto proviamo che se ${a n}$ converge allora è di Cauchy. Per ipotesi,

$\lim_{n \to \infty} a_n = a$

cioè per ogni $ε > 0$ esiste $N$ tale che

$|a_n - a| < \epsilon \!\,$

per ogni $n > N$ . Dalla disuguaglianza triangolare si ricava:

$|a_n - a_m| \le |a_n - a| + |a_m - a| < 2 \epsilon$

per ogni coppia $n$ e $m$ di numeri maggiori di $N$ . Poiché $2ε$ è "piccolo a piacere", ne segue che ${a n}$ è una successione di Cauchy.

Mostriamo l'implicazione inversa. Sia ${a n}$ di Cauchy. Una tale successione è necessariamente limitata. Quindi è contenuta in un insieme chiuso e limitato di $\R$ : un tale insieme di $\R$ è compatto per il teorema di Heine-Borel (la completezza di $\R$ è fondamentale per ottenere questo risultato).

Poiché la successione ${a n}$ è contenuta in un compatto, esiste una sottosuccessione $\{a_{n_k}\}$ convergente ad un certo limite $a$ . Dalla definizione di limite, per ogni $ε > 0$ esiste $N$ tale che

$|a_{n_k} - a| < \epsilon$

per ogni $n k > N$ . Poiché ${a n}$ è una successione di Cauchy, esiste $N'$ tale che

$|a_n - a_m| < \epsilon \,\!$

per ogni $n, m > N'$ . Quindi

$|a_n - a| \le |a_n - a_{n_k}| + |a - a_{n_k}| < 2 \epsilon$

per ogni $n$ maggiore di $max{N, N'}.$

[modifica] Criterio di convergenza per le serie

Adattando il discorso alle serie, si può enunciare questo criterio, che altro non è che un corollario dell'enunciato precedente:

Una serie $\sum_{n=0}^{+\infty}a_n$ a valori reali è convergente se e solo se per ogni $ε > 0$ esiste un $n ε$ tale che per ogni $n > n ε$ e per ogni $p$ in N vale che $| a n + 1 + .. + a n + p | < ε$ .