Equazione di Dirac

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L'equazione di Dirac, che descrive in modo relativisticamente invariante il moto delle particelle a spin semi-intero (fermioni), nasce come tentativo di ovviare agli inconvenienti generati dall'equazione di Klein-Gordon. Tale equazione, infatti, non solo aveva soluzioni ad energia negativa, ma soprattutto presentava una difficoltà nell'interpretazione della funzione d'onda: tale difficoltà portava a densità di probabilità che potevano anche essere negative o nulle.

Dirac, allora, partendo proprio dall'equazione di Klein-Gordon:

$\left ( \partial_\mu \partial^\mu + m^2 \right ) \Phi = 0$

propone una sorta di radice quadrata di quest'ultima, che risulterà anch'essa scritta in unità naturali.

Si supponga, infatti, di poter scrivere:

E = α_xp_x + α_yp_y + α_zp_z + βm

il cui quadrato da:

$p^2 + m^2 = E^2 = \left ( \alpha_x p_x + \alpha_y p_y + \alpha_z p_z + \beta m \right )^2$

Questa uguaglianza porta ad alcune condizioni sui coefficienti:

$\alpha_x^2 = \alpha_y^2 = \alpha_z^2 = \beta^2 = 1$

$\alpha_x \beta + \beta \alpha_x = \alpha_y \beta + \beta \alpha_y = \alpha_z \beta + \beta \alpha_z = 0 \,\!$

$\alpha_x \alpha_y + \alpha_y \alpha_x = \alpha_x \alpha_z + \alpha_z \alpha_x = \alpha_y \alpha_z + \alpha_z \alpha_y = 0 \,\!$

Appare evidente, pertanto, che questi coefficienti sono in realtà matrici e non numeri. La prima scelta potrebbero essere le matrici di Pauli, che però sono tre, mentre le matrici da determinare sono 4. Si può suggerire, allora, di creare una base matriciale composta dalle tre matrici di Pauli con l'aggiunta dell'identità: questa è una base completa dello spazio di matrici 2×2, ma se si pone ad esempio β=I, si può verificare che, ad esempio, α_xβ + βα_x = 2α_x=0, ma ciò non è possibile, perché la matrice α_x è sicuramente non nulla. Per ovviare a questo inconveniente fu allora necessario passare ad una dimensione maggiore, costruendo delle matrici 4×4. Quelle che Dirac scelse furono:

$\alpha_x = \begin{pmatrix} 0 & - \sigma_x \\ \sigma_x & 0 \end{pmatrix}$

$\alpha_y = \begin{pmatrix} 0 & - \sigma_y \\ \sigma_y & 0 \end{pmatrix}$

$\alpha_z = \begin{pmatrix} 0 & - \sigma_z \\ \sigma_z & 0 \end{pmatrix}$

$\beta = \begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & -I \end{pmatrix}$

Ponendo poi:

$\gamma^0 \equiv \beta , \gamma^i \equiv \beta \alpha^i$

l'equazione viene scritta con le gamma o matrici di Dirac:

$\left ( i \gamma^\mu \partial_\mu -m \right ) \psi = 0$

dove

$\partial_\mu \equiv \frac {\partial}{\partial x^\mu}$

mentre i è l'unità immaginaria.

In questo modo le soluzioni dell'equazione del moto sono dei vettori a quattro componenti: una soluzione particolare prende il nome di spinore di Dirac. Inoltre la densità di probabilità, in questo modo, risulta positiva sempre:

$\rho \left ( \vec x, t \right ) = \sum_{i=0}^3 \left | \psi_i \left ( \vec x, t \right ) \right |^2 \ge 0$

Non si riescono, però, ad eliminare le energie negative, che restano quindi come possibili autovalori dell'equazione. Per interpretare questo risultato dell'equazione, Dirac propose un'interpretazione secondo cui esiste un mare di fermioni alcuni dei quali sono in un livello eccitato, e dunque hanno un'energia positiva, ma in tale mare esistono delle lacune che dunque sono ad energia negativa; quando una particella in uno stato eccitato incontra una lacuna, ecco che cade in uno stato non eccitato emettendo della radiazione elettromagnetica (un fenomeno simile alla diseccitazione di atomo in cui un elettrone cade in un livello energetico a meno energia emettendo un fotone, sempre che nella nuvola elettronica dell'atomo esista una lacuna). Tale fenomeno è molto simile all'annichilazione di una particella con un'antiparticella come per esempio l'annichilazione di un elettrone con un positrone, con conseguente emissione di due fotoni, che può essere descritto dall'equazione di Dirac, là dove l'antiparticella viene descritta dalla soluzione dell'equazione di Dirac con energia negativa. Per cui, in un certo senso, si può affermare che Dirac predisse l'esistenza dell'antimateria e il fenomeno dell'annichilazione con la materia, sebbene le sue idee sull'esistenza del mare di fermioni siano state rigettate dalla comunità scientifica perché portavano a delle incongruenze interne alla teoria.

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Categorie: Meccanica quantistica | Teorie relativistiche

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