Estensione algebrica
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
In algebra, una estensione di campo L/K è detta algebrica se ogni elemento di L è algebrico su K, cioè se ogni elemento di L è una radice di qualche polinomio non nullo a coefficienti in K. Una estensione di campo non algebrica è detta trascendente. Un elemento di L che non è radice di nessun polinomio a coefficienti in K è anch'esso detto trascendente.
Indice |
[modifica] Definizioni
Sia K un campo. Una estensione è il dato di un altro campo L e di un omomorfismo iniettivo di K in L. Tramite l'omomorfismo, K può essere visto come un sottocampo di L. L'estensione è generalmente indicata con la notazione L/K.
Un elemento a di L è algebrico su K se esiste un polinomio (non nullo) p a coefficienti in K tale che
- p(a) = 0.
Un elemento non algebrico su K è detto trascendente.
Se tutti gli elementi di L sono algebrici su K, l'estensione L/K è detta algebrica. Altrimenti è trascendente.
[modifica] Esempi
Siano Q, R e C rispettivamente i campi dei numeri razionali, reali e complessi.
- L'estensione R/Q è trascendente, perché π non è radice di nessun polinomio a coefficienti razionali.
- L'estensione C/R è algebrica, perché ogni numero complesso a è radice di un polinomio a coefficienti reali, ad esempio
- Consideriamo il sottocampo Q(√2) di C generato da Q e √2. L'estensione Q(√2)/Q è algebrica, perché √2 è radice del polinomio a coefficienti complessi
-
- p(x) = x2 − 2
- Ogni polinomio p a coefficienti in K definisce il suo campo di spezzamento, che è un'estensione algebrica di K "generata" dalle radici di p.
[modifica] Ulteriori definizioni e proprietà
[modifica] Grado
Se L è visto come uno spazio vettoriale su K, si può considerare la sua dimensione. Questa dimensione è il grado dell'estensione. L'estensione L/K è inoltre finita o infinita a seconda che il grado sia finito o infinito.
- Tutte le estensioni trascendenti sono di grado infinito. Questo implica immediatamente che tutte le estensioni finite sono algebriche.
- L'inverso non è tuttavia vero: esistono estensioni algebriche infinite. Ad esempio, il campo di tutti i numeri algebrici è un'estensione algebrica infinita di Q.
- Se a è algebrico su K, allora K[a], cioè l'insieme di tutti i polinomi in a con coefficienti in K, è un campo; in particolare è un'estensione di campo algebrica di K di grado finito su K. Il grado è pari al grado del più piccolo polinomio p di cui a è radice. Nel caso particolare in cui K = Q è il campo dei numeri razionali, Q[a] è un esempio di campo numerico algebrico.
[modifica] Campi algebricamente chiusi
Un campo che non ha estensioni algebriche (oltre a sé stesso) è detto algebricamente chiuso. Un esempio è il campo dei numeri complessi. Ogni campo ha un'estensione algebrica che è algebricamente chiusa (e la più piccola fra queste è la sua chiusura algebrica), ma dimostrare questo nel caso generale richiede una delle forme dell'assioma della scelta.
[modifica] Generalizzazioni
La teoria dei modelli generalizza la nozione di estensione algebrica a teorie arbitrarie: un'immersione di M in N è detta estensione algebrica se per ogni x in N esiste una formula p a parametri in M, tale che p(x) è vera e l'insieme
- {y in N | p(y)}
è finito. Applicando questa definizione alla teoria dei campi si ottiene l'usuale definizione di estensione algebrica. Il gruppo di Galois di N su M può essere ancora definito come il gruppo di automorfismi, e la maggior parte della teoria dei gruppi di Galois può essere sviluppata in questo contesto più generale.
