Indice di Divisia

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L'indice di Divisia è un indice definito in ambito continuo utilizzato per la misurazione delle variazioni nei volumi e nei prezzi di determinati aggregati.

Adattamenti al caso discreto dell'indice di Divisia, e quindi sue approssimazioni empiriche, sono:

[modifica] Calcolo dell'indice

Il valore di un aggregato risulta uguale alla somma delle quantità degli elementi che lo compongono moltiplicati per i rispettivi prezzi. Indicando con $\ X_{t}$ il valore dell'aggregato X al tempo t, con $\ p_{it}$ e $\ q_{it}$ , rispettivamente, il prezzo e la quantità dell'elemento i al tempo t, avremo:

$\ X_t = \sum_i p_{it}\ q_{it}$

Derivando rispetto al tempo e dividendo per $\ X_{t}$ otteniamo:

$\frac{\dot{X}_t}{X_t} = \sum_i \frac{q_{it}}{\sum_i p_{it}\ q_{it}} \dot{p}_{it} + \sum_i \frac{p_{it}}{\sum_i p_{it}\ q_{it}} \dot{q}_{it}$

dove $\ \dot{x}= \frac{d x}{d t}$ .

Dall'equazione precedente otteniamo:

$\frac{\dot{X}_t}{X_t} = \sum_i v_{it} \frac{\dot{p}_{it}}{p_{it}} + \sum_i v_{it} \frac{\dot{q}_{it}}{q_{it}}$

dove $\ v_{it}$ è la quota di i sul totale nel periodo t, ovvero:

$v_{it} = \frac{q_{it}p_{it}}{\sum_i p_{it}\ q_{it}}$

Essendo:

$\frac{d \log x}{d t} = \frac{\dot{x}}{x}$

una formulazione alternativa è:

(1) $\ \frac{d \log X_t}{d t} = \sum_i v_{it}\ \frac{d \log {p}_{it}}{d t} + \sum_i v_{it}\ \frac{d \log {q}_{it}}{d t}$

Nelle equazioni precedenti il primo addendo rappresenta la variazione dell'aggregato osservabile a seguito della variazione dei prezzi, costanti le quantità, mentre il secondo registra i cambiamenti imputabili alle variazioni nei volumi, costanti i prezzi.

In caso di un solo bene avremmo:

$\ X_t = P_t\ Q_t$