Onda sferica

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Un'onda è sferica se il suo fronte d'onda è una sfera. Ciò vuol dire che un'onda sferica è tale quando la sorgente dell'onda è puntiforme in modo che il fronte d'onda si propaghi in proporzione alla distanza r dalla sorgente. Naturalmente poiché per quanto piccola, una sorgente non è mai puntiforme al finito, anche questo modello è soggetto ad approssimazione fisica. In generale un'onda sferica è rappresentabile allo stesso modo di un'onda piana. La forma:

$\zeta (\vec r,t)$

soddisfa la stessa equazione delle onde di un'onda piana e di un'onda monocromatica, infatti derivando due volte rispetto ad x:

$\frac{\partial \zeta(\vec r,t)}{\partial x} = \frac{\partial \zeta}{\partial r} \cdot \frac{\partial r}{\partial x}$

$\frac{\partial^2 \zeta(\vec r,t)}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 \zeta}{\partial r^2} \cdot \left(\frac{\partial r}{\partial x} \right)^2 + \frac{\partial \zeta}{\partial x} \cdot \frac{\partial^2 r}{\partial x^2}$

Poiché $r = \left(x^2 + y^2 + z^2 \right)^{1/2}$ allora le derivate parziali di sopra diventano:

$\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x}{r}$

$\frac{\partial^2 r}{\partial x^2} = \frac{1}{r} \left(1- \frac{x^2}{r^2} \right)$

in definitiva si ottiene:

$\frac{\partial^2 \zeta(\vec r,t)}{\partial x^2} = \frac{x^2}{r^2} \frac{\partial^2 \zeta}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \left(1 - \frac{x^2}{r^2} \right) \cdot \frac{\partial \zeta}{\partial r}$

Allo stesso modo nelle altre variabili:

$\frac{\partial^2 \zeta(\vec r,t)}{\partial y^2} = \frac{y^2}{r^2} \frac{\partial^2 \zeta}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \left(1 - \frac{y^2}{r^2} \right) \cdot \frac{\partial \zeta}{\partial r}$

$\frac{\partial^2 \zeta(\vec r,t)}{\partial z^2} = \frac{z^2}{r^2} \frac{\partial^2 \zeta}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \left(1 - \frac{z^2}{r^2} \right) \cdot \frac{\partial \zeta}{\partial r}$

Sommiamo membro a membro:

$\nabla^2 \zeta(\vec r,t) = \frac{\partial^2 \zeta}{\partial r^2} + \frac{2}{r} \cdot \frac{\partial \zeta}{\partial r} = \frac{1}{r} \frac{\partial^2 (r \zeta)}{\partial r^2}$

riottenendo l'equazione di D'Alembert nella variabile $r ζ(r, t)$ :

$\frac{\partial^2 \zeta}{\partial r^2} - \frac{1}{v^2} \cdot \frac{\partial^2 (r \zeta)}{\partial t^2}$

la cui soluzione è ancora della forma:

$r \zeta (r,t) = f(r- \vec v t) \rightarrow \zeta (r,t) = \frac{f(r- \vec v t)}{r}$

[modifica] Onda sferica elettromagnetica

Le equazioni delle onde:

${\nabla}^2 \vec E - \epsilon \mu \frac {{\partial}^2 \vec E}{{\partial t}^2}= 0$

$\,\,\,\,\, {\nabla}^2 \vec B - \epsilon \mu \frac {{\partial}^2 \vec B}{{\partial t}^2} = 0$ .

sono equazioni alle derivate parziali che se vogliamo soddisfino le equazioni di Maxwell dobbiamo imporre le condizioni iniziali o le condizioni al contorno. Le condizioni al contorno che corrispondono ad una onda sferica sono quelle in cui la direzione di propagazione è proporzionale alla distanza r dal centro, o più precisamente, quando i suoi fronti d'onda sono sfere. In questo caso le derivate delle equazioni delle onde del campo elettrico e del magnetico possono essere espresse in termini di coordinate sferiche ponendo uguali a zero le derivate rispetto a $θ$ e a $φ$ . Dunque, tenendo conto dlla simmetria sferica nello spazio, la nostra equazione delle onde è del tipo:

$\nabla^2 \psi = \frac{1}{r} \frac{\partial^2 (r \psi)}{\partial r^2}$

la cui soluzione generale è della forma:

$\psi(r,t) = \frac {t-r/c}{r}$

dove c è la velocità che nel vuoto $c = \frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}} \simeq 2,99 \cdot 10^{8} [m/s]$ .

Il tipico esempio di onda sferica è quello in cui la sorgente, situata nell'origine, è una distribuzione di carica che può essere pensata puntiforme: $Q (t)$ . Cerchiamo una soluzione del tipo:

$\psi(\vec r , t) = V(r,t) = \frac{Q(t - r/c)}{4 \pi \epsilon_0 \cdot r}$

questa deve valere ovunque eccetto che nel punto sorgente.

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