Operazioni con i limiti

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In analisi matematica le operazioni con i limiti sono delle operazioni volte a calcolare il limite di un oggetto (solitamente una successione o funzione) a partire dal limite di oggetti più semplici, tramite operazioni aritmetiche come somma e prodotto.

Indice

1 Operazioni con i limiti di funzione
- 1.1 Dimostrazione
2 Operazioni sulla retta estesa
- 2.1 Forme indeterminate
3 Voci correlate

[modifica] Operazioni con i limiti di funzione

Siano

$f: X_f \subseteq \R \to \R,\quad g: X_g \subseteq \R \to \R,$

due funzioni definite su domini $X f, X g$ non disgiunti, e sia $x 0$ un punto di accumulazione per $X_f \cap X_g$ .

Se esistono i limiti

$\lim_{x \to x_0}f(x) = l_1 \quad \lim_{x \to x_0}g(x) = l_2$

allora

$\lim_{x \to x_0}(c \cdot f(x)) = c \cdot l_1 \qquad c \in \R \!$
$\lim_{x \to x_0}(f(x) \pm g(x)) = l_1 \pm l_2 \!$
$\lim_{x \to x_0}(f(x) \cdot g(x)) = l_1 \cdot l_2 \!$
$\lim_{x \to x_0}{1 \over f(x)} = {1 \over l_1} \qquad \mbox{se }l_1 \ne 0 \!$
$\lim_{x \to x_0}{f(x) \over g(x)} = {l_1 \over l_2} \qquad \mbox{se }l_2 \ne 0 \!$

Nei due ultimi punti, le frazioni si intendono definite solo dove il denominatore è non nullo.

[modifica] Dimostrazione

[modifica] Punto 1

Preso

$\left | f(x)-l_1 \right | < \epsilon \!$

otteniamo direttamente

$c \cdot \left | f(x)-l_1 \right | < c \cdot \epsilon \to \left | c \cdot f(x)- c \cdot l_1 \right | < c \cdot \epsilon \!$

a questo punto il teorema è dimostrato perché concorda con la definizione di limite.

[modifica] Punto 2

Presi

$\left | f(x)-l_1 \right | < \epsilon \!$ e $\left | g(x)-l_2 \right | < \epsilon \!$

dall'espressione

$\left | f(x) \pm g(x) - \left ( l_1 \pm l_2 \right ) \right | \!$

per la disuguaglianza triangolare otteniamo

$\left | f(x) \pm g(x) - \left ( l_1 \pm l_2 \right ) \right | < 2 \cdot \epsilon \!$

a questo punto il teorema è dimostrato perché concorda con la definizione di limite.

[modifica] Punto 3

Preso

$f(x) \cdot g(x) - l_1 \cdot l_2 \!$

aggiungiamo e togliamo $g(x) \cdot l_1 \!$ otteniamo

$g(x) \cdot \left ( f(x) - l_1 \right ) + l_1 \cdot \left ( g(x) - l_2 \right ) \!$

posti

$\left | f(x) - l_1 \right | < \epsilon \!$ e $\left | g(x) - l_2 \right | < \epsilon \!$

[modifica] Operazioni sulla retta estesa

Alcune delle uguaglianze elencate sono estendibili ai casi in cui $l 1$ e/o $l 2$ sia infinito. Ad esempio, se $l_1 = \pm \infty$ e $l 2$ è finito, valgono le relazioni seguenti:

$f(x)\to \pm\infty,\,c>0\implies\lim_{x \to x_0}(c \cdot f(x)) = \pm\infty \!$
$f(x)\to \pm\infty,\,c<0\implies\lim_{x \to x_0}(c \cdot f(x)) = \mp\infty \!$
$f(x)\to \pm\infty\implies\lim_{x \to x_0}(f(x) + g(x)) = \pm\infty \!$
$f(x)\to \pm\infty\implies\lim_{x \to x_0}(f(x) - g(x)) = \pm\infty \!$
$f(x)\to \pm\infty\implies\lim_{x \to x_0}\frac{1}{f(x)} = 0^\pm \!$
$f(x)\to 0^\pm\implies\lim_{x \to x_0}\frac{1}{f(x)} = \pm\infty \!$
$f(x)\to \pm\infty,\,l>0\implies\lim_{x \to x_0}(g(x) \cdot f(x)) = \pm\infty \!$
$f(x)\to \pm\infty,\,l<0\implies\lim_{x \to x_0}(g(x) \cdot f(x)) = \mp\infty \!$

Questo fatto giustifica l'utilizzo di scritture come:

$l\cdot\pm\infty = \pm\infty\!$ (se $l > 0$ )
$\pm\infty + l = \pm\infty\!$
$+\infty + \infty = + \infty\!$
$+\infty\cdot\pm\infty = \pm\infty\!$ (seguendo la regola dei segni convenzionale)
$\frac{l}{\pm\infty} = 0^\pm \!$ (se $l > 0$ )

[modifica] Forme indeterminate

Per approfondire, vedi la voce Forma indeterminata.

Una forma indeterminata è invece un caso in cui non è possibile ricavare il limite della funzione composta dai limiti di ciascuna singola funzione. Questo accade in presenza di espressioni del tipo: