Simmetria centrale (matematica)

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

Questa voce di matematica è solo un abbozzo: contribuisci a migliorarla secondo le convenzioni di Wikipedia.

In matematica, e più precisamente in geometria, una simmetria centrale è una trasformazione (della retta, del piano o dello spazio) che scambia tra di loro gli estremi di ogni segmento il quale abbia, come punto medio, un punto fissato (della retta, del piano o dello spazio), detto centro di simmetria.

La simmetria centrale coincide con la rotazione di 180° rispetto al centro di simmetria.

Indice

1 Geometria euclidea piana
- 1.1 La simmetria centrale in coordinate cartesiane
- 1.2 Scrittura matriciale
2 Figure simmetriche

[modifica] Geometria euclidea piana

Nel piano euclideo, due punti A e A' si dicono simmetrici rispetto a un punto O (cui non appartengono) quando O è il punto medio (o centro) del segmento [AA']. A' si dice il simmetrico di A rispetto ad O e viceversa.

La corrispondenza biunivoca che associa ad ogni punto A il punto A' suo simmetrico, e viceversa, si dice simmetria centrale di centro O.

La simmetria centrale è un'isometria del piano, cioè conserva la lunghezza dei segmenti.

Alcuni autori utilizzano la notazione $σ O$ per indicare la simmetria assiale di centro O; il simmetrico di A si scrive $A' = σ O (A)$ .

La simmetria assiale è involutoria, cioè coincide con la propria inversa e composta con se stessa dà l'identità.

Infine, la simmetria assiale è un'isometria di tipo diretto, cioè mantiene l'orientazione degli oggetti (ad esempio, una coppia di assi ortogonali, il senso di percorrenza dei lati di un triangolo, etc.)

[modifica] La simmetria centrale in coordinate cartesiane

Nel piano cartesiano ${\mathbb R}^2$ , la simmetria centrale di centro O(x_0, y_0) è una corrispondenza biunivoca

$(x,y)\mapsto(x',y')$

definita nel modo seguente:

$x' = -x + 2\,x_0$

$y' = -y + 2\,y_0$

L'espressione si estende in dimensione più alta. Nello spazio euclideo n-dimensionale ${\mathbb R}^n$ , la simmetria di centro O $(x_{01}, x_{02}, \ldots x_{0n})$ è descritta come