数学的構造

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数学における構造（こうぞう、mathematical structure）とは、ブルバキによって全数学を統一的に少数の概念によって記述するために導入された概念である。集合に、あるいは圏の対象に構造を決めることで、その構造に対する準同型が構造を保つ写像として定義される。数学の扱う対象は、基本的には全て構造として表すことができる。

[編集] 定義

集合論的な定義（ブルバキ「集合論」4章による）

構造種とは以下の四つからなる。

主基集合──順序ならば、順序の定義される集合。位相ならば、位相の定義される集合。複数あってもよい
副基集合──なくてもよい。ベクトル空間ならば、ある体。複素多様体ならば、複素数体
代表的特性記述──「主基集合と副基集合から、直積とべき集合をとることを繰り返して得られる集合（階梯と呼ばれる）にある集合（構造と呼ばれる）が含まれる」ということを表す論理式。複数あってもよい。
公理──構造が満たす論理式。ただし移行可能であるという条件が付く。この条件は、準同型などを定義する際に必要になる?

[編集] 例

位相空間の構造種は、主基集合が位相の定義される集合（ X とする）で、副基集合はなし。代表的特性記述は O∈P(P(X)) で（ O は普通にいう開集合系）、公理は「{},X∈O 、かつ、A,B∈O ならば A∩B∈O 、かつ、O_λ∈O をみたす任意の {O_λ}_λ∈Λ に対して ∪O_λ∈O 」である。

[編集] 構造の深さについて

種々の構造には、深いとかそうでないとかいった形容詞がつくこともある。例えば、アーベル群の構造はそうでない群の構造よりも深くないとか、群は半群よりも深い構造を持つとかいったようなことが言われる。現に群の中にはモンスターと呼ばれる位数が 10⁵³ 以上もある群があるが、このような個別の対象が、現在深く研究されている（物理学との関連も含めて）。それに対して、アーベル群や半群にはそのような対象はいまのところおそらくない。<--fix me 自然数は、二千年以上に渡って、研究され続けているが、いまだにその性質を完全に明らかにできたとは到底言えない。しかしながら、現在深くないと言われているものが、今後新しい対象の発見によって、急速に重要性を増すということも当然あり得る。たとえば、可換環に対する非可換環はそのような例である。フラクタルや多様体におさまりきらないような図形もそうであろう。結局のところ、ある構造が深いとか深くないとかいった言辞は、全て現在においてという制限を加えたものとみなすべきであり、今後もそれが正しいと予測できる根拠はなにもない。