百五減算

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百五減算（ひゃくごげんざん）は、未知の数（厳密には 0 ～ 104 の整数）を 3, 5, 7 でそれぞれ割った余りから元の数を求める和算の一つ。 3 で割った余りには 70、5 で割った余りには 21、7 で割った余りには 15 をかけた合計から 105 未満になるまで繰り返し 105 を引く（つまり 105 で割った余りを求める）もの。

[編集] 例

以下に百五減算を利用して相手の年齢を当てるゲームを示す。これは百五減算を利用した遊びとして典型的なものである。

「あなたの年齢を 3 で割った余りを教えて下さい」と聞いて、例えば「 1 です」という答えを得る。同様に 5 と 7 で割った余りも尋ねてそれぞれ 4 , 5 であると教えてもらったとする。

そこで素早く 1 × 70 + 4 × 21 + 5 × 15 = 229 を計算し、229から105を引けるだけ引いていくと 229 - 105 = 124 , 124 - 105 = 19 となり、余りを聞いただけで「あなたの年齢は 19 歳ですね」と言い当てられるというわけである。

もちろんこの計算だけでは124歳や229歳である可能性もあるのだが、19歳か124歳かは相手を見ればすぐにわかるので、人間の年齢を当てるには十分である。

[編集] 背景

$70 \equiv 0 \pmod{(5*7)}, 70 \equiv 1 \pmod{3}$

$21 \equiv 0 \pmod{(3*7)}, 21 \equiv 1 \pmod{5}$

$15 \equiv 0 \pmod{(3*5)}, 15 \equiv 1 \pmod{7}$ より。

一般化して、互いに素な n 個の自然数があれば0以上その n 個の数の積未満の整数について n 個の数それぞれで割った余りから同様に余りの対象の除数以外で割り切れて余りの対象の除数で割ると余り 1 になる数をかけた n 回の乗算の合計を n 個の除数すべての積で割った余りが元の整数になる。これは中国の剰余定理の系である。フェルマーの小定理に似ているが除数どうしが互いに素であれば要素数が素数である必要はない。