곱셈적 함수

곱셈적 함수, 또는 곱산술함수란 정수 집합을 정의역과 공역으로 갖고, 다음의 두 조건을 만족하는 함수이다.

만약 곱셈적 함수 f가 a와 b가 서로 소가 아니어도 항상 $f(ab) = f(a) \cdot f(b)$ 를 만족한다면, 이 함수는 완전 곱셈적으로 부른다.

수론 이외의 분야에선 보통 곱셈적(multiplicative)이란 용어는 보통 모든 변수 a와 b에 대해 f(ab) = f(a) f(b)를 만족하는 성질을 말한다. 이 설명에선 수론적함수만으로 한정하여 설명한다.

[편집] 예

수론에 나오는 중요한 함수들 중에 곱셈적인 함수를 찾아보면, 다음과 같은 예가 있다.

φ(n): 오일러 파이 함수 : n보다 작고 n과 서로 소인 자연수의 갯수
μ(n): 뫼비우스 함수
σ_k(n): 약수 함수 : n의 모든 양의 약수를 각각 k승하여 더한 값
- d(n): n의 양의 약수의 갯수으로, 약수 함수에서 k = 0일 때의 경우이다.
- σ(n): n의 모든 양의 약수의 합으로, 약수 함수에서 k = 1일 때의 경우이다.

특히, 완전 곱셈적인 함수에는 다음과 같은 예가 있다.

Id_k(n): 거듭제곱 함수 : Id_k(n) = n^k 로 정의되는 함수
- 1(n): 모든 함수값이 1인 상수 함수. k가 0일 때의 특수한 경우이다.
- Id(n): 항등 함수 : Id(n) = n인 함수. k가 1일 때의 특수한 경우이다.
ε(n): n = 1 일 때 ε(n) = 1, n > 1 일 때는 ε(n) = 0 로 정의된 함수이다.
(n/p). 르장드르 기호. 여기서 p는 고정된 소수이다.

곱셈적 함수가 아닌 함수의 예로는 r₂(n)가 있다. r₂(n)는 n을 두 정수의 제곱의 합으로 나타내는 방법의 가지수이며, 이 때 덧셈의 순서도 구분한다. 즉,

1 = 1² + 0² = (-1)² + 0² = 0² + 1² = 0² + (-1)²

이다. 따라서 r₂(1) = 4 ≠ 1 이 된다. 이로서 이 함수가 곱셈적이 아님을 보일 수 있다. 그러나, r₂(n)/4는 곱셈적이다.

곱셈적 함수는 수론의 기본정리에 따라 소수의 거듭제곱에서의 함수값들 만으로 모든 값이 완전히 결정된다. 그래서 n을 서로 다른 소수들의 곱으로 나타낼 때, 즉, n = p^a q^b ..., 이면, f(n) = f(p^a) f(q^b) ... 이다.

이 곱셈적 함수의 성질을 이용하면 함수값의 계산이 훨씬 용이해진다. 예를 들어 n = 144 = 2⁴ · 3²의 함수값을 계산해 보면,

d(144) = σ₀(144) = σ₀(2⁴)σ₀(3²) = (1⁰ + 2⁰ + 4⁰ + 8⁰ + 16⁰)(1⁰ + 3⁰ + 9⁰) = 5 · 3 = 15,

σ(144) = σ₁(144) = σ₁(2⁴)σ₁(3²) = (1¹ + 2¹ + 4¹ + 8¹ + 16¹)(1¹ + 3¹ + 9¹) = 31 · 13 = 403.

이 된다. 또한,

φ(144)=φ(2⁴)φ(3²) = 8 · 6 = 48

이다.

일반적으로 f(n)이 곱셈적이고, a, b가 두 자연수이면 다음이 성립한다.

f(a) · f(b) = f(gcd(a,b)) · f(lcm(a,b))

f와 g가 곱셈적 함수일 때, 이 둘의 디리클레 합성곱 f * g를 다음과 같이 정의한다.

(f * g)(n) = ∑_d|n f(d)g(n/d)

여기서 합은 n의 모든 양의 인자 d에 대해 이루어지고, 이 연산(operation)으로 모든 곱셈적 함수들의 집합은 가환군(可換群 ; abelian group)을 이루며, 단위원은 ε이다.

위에 언급된 곱셈적 함수들간의 관계는 몇개 써보면 다음과 같다.

디리클레 포갬은 또한 일반적인 수론적 함수(arithmetic function)에 대해 정의될 수 있고, 이 때는 환 구조(ring structure)를 만든다.