매끈한 함수
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매끈한 함수(smooth function)이라고 함은, 느슨하게 말하자면 무한히 많이 미분가능한 함수를 뜻하는 말이다.
우선, 주어진 위상 공간에서 미분의 개념이 존재하기 위해서는 까다로운 조건이 만족되어야 하므로, 매끈한 함수를 논하기 위해서는 그 논의가 이루어지는 공간이 처음부터 적어도 미분 다양체같은 것임을 가정하고 있어야만 한다. 일단 함수의 미분이 잘 정의되면, 얻어진 도함수에 대해서 높은 차수의 미분을 계속 생각할 수 있고, 따라서 무한히 많이 미분 가능하다는 것은 실제로 무한번의 미분을 하는 것이 가능하다 라는 것은 아니라, 임의의 유한번의 미분을 항상 할 수 있다는 말이다. 따라서 매끈한 함수라는 말은 해석적 함수(analytic function)이라는 말과는 분명히 구분되어서 쓰여져야 한다.
[편집] 기호
일반적으로 어떤 함수가 연속일 경우 우리는 그 함수가 C0-함수라고 한다. 어떤 함수가 한번 미분 가능하고 그 도함수가 연속일 경우, 우리는 그 원래의 함수를 C1-함수 라고 부른다. 더 나가서, 어떤 주어진 함수 f가 n번 미분 가능하고, 그것의 n번 미분한 함수 f(n)가 여전히 연속함수일 경우 우리는 그 함수 f를 Cn-함수 라고 한다. 만약 어떤 함수가 임의의 자연수 n에 대해서 Cn-함수 인 경우, 우리는 이 함수를 
-함수 라고 부른다. 매끈한 함수라는 것은 -함수의 동의어 이다.
[편집] 매끈한 함수와 해석적 함수
매끈한 함수와 해석적 함수들은 둘 다 무한번 미분이 가능한 함수들이므로, 당연히 임의의 해석적 함수는 매끈한 함수이다. 그러나 매끈한 함수중에는 해석적 함수가 아닌 것들이 많은데, 이런 성질이 이 두가지 함수 집단들의 성질을 완전히 갈라 놓게 된다.
일반적으로 매끈한 함수들의 집단의 경우에는, 이 위에서는 단위분할(partition of unity)같은 미분 위상수학적인 도구들을 사용하여, 국소적으로 정의된 정보가 제 아무리 제멋대로 생겼더라도 재조합하여 붙일 수 있는 성질이 있다. 이 성질때문에 매끈한 함수들의 집단으로 구성된 층(sheaf)에서 코호몰로지 군을 계산하면 항상 0이 되게 된다. 이런 층은 섬세 층(fine sheaf)이 되고, 또한 acyclic 층 이 되기도 한다.
그러나, 해석적 함수들은 이런 성질이 없다. 어떤 점 주변에서 해석함수 전개를 해서 나오는 계수들은, 이 해석 함수를 완전하게 결정해 버리고, 단위분할 따위의 도구도 사용할 수가 없다.
