미분 방정식

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미분 방정식(微分方程式, differential equation)은 미지의 함수와 그 도함수간의 관계를 나타내는 방정식이며, 줄여서 미방이라고 부르기도 한다. 미분 방정식의 차수(order)는 방정식에 나오는 도함수가 몇 계 도함수까지 나오는지에 따라 결정된다.

$y$ 가 $x$ 의 함수라고 하고, $y', y'',..., y (n)$ 들로 함수의 미분 $d y / d x, d 2 y / d x 2,..., d n y / d x n$ 을 나타낸다고 할 때, 상미분 방정식(ODE, ordinary differential equation)은 $x, y, y', y'',...$ 로 이루어진 방정식이다. 미분 방정식의 차수(order)는 나오는 도함수의 가장 높은 계수 n이 된다. 이들 중 특수한 경우로 $x$ 가 식에 나오지 않는 방정식이 있는데, 이 경우 공간위의 두 점에 대해 동일한 해에 놓여 있는지 여부에 따라 공간 전체를 동류항(equivaltce class)들로 나눌 수 있다. 이런 종류의 미분 방정식은 벡터장(vector field)이다. 물리법칙은 시간의 변화에 무관하다고 생각되기 때문에, 세계는 이런 미분 방정식의 지배를 받는다고 볼 수 있다.

미분 방정식은 함수와 그 도함수들이 방정식을 만족하는 함수 $y$ 를 찾아서 풀 수 있다. 예를 들어, 미분방정식 $y'' + y = 0$ 는 일반해 $y = A cos x + B sin x$ 로 주어지고, 상수 $A$ , $B$ 는 경계조건(boundary condition)에 의해 결정된다. 미분 방정식이 선형(linear)인 경우에는 방정식을 나누어 해를 구하고, 다시 그 해들을 합쳐서 원래 방정식의 해를 구할 수 있다. 그러나 많은 수의 미분방정식은 비선형(non-linear)이기 때문에 잘개 쪼개어 풀 수 없다. 요즈음에는 이런 종류의 미분 방정식을 푸는 알고리즘이나 방법들이 많이 나와있다.

상미분 방정식은 $y$ 가 여러 변수의 함수이며, 방정식이 편미분을 포함하는 편미분 방정식(PDE, partial differential equation)과 구분된다.

미분 방정식은 유체역학, 천체역학(celestial mechanics)등의 물리적 현상의 수학적 모델을 만들 때에 사용된다. 따라서 미분 방정식은 순수수학과 응용수학의 여러 분야에 걸쳐있는 넓은 학문이다.

미분 방정식의 목표는 다음 세가지 이다. 첫째, 특정한 상황을 표현하는 미분 방정식을 발견하는 것이다. 둘째, 그 미분 방정식의 정확한 해를 찾는 것이다. 셋째, 그 찾은 해를 해석하여 미래를 예측하는 것이다. 미분 방정식에 대해 해가 있어야만 하는지, 아니면 해가 유일한지 등의 문제도 중요한 관심사이다. 그러나 응용수학자, 물리학자, 엔지니어들은 대개 주어진 미분 방정식을 푸는 데에 관심을 두기 마련이고, 여기서 얻어진 해는 다리, 자동차, 비행기, 하수도 등을 만드는 데에 이용되고 있다.

[편집] 미분 방정식의 예

[편집] 분리형 상미분 방정식

분리형 1차 상미분 방정식의 일반형은 다음과 같다.

$\frac{dy}{dt} + f(t) y = 0,$

여기서 $f (t)$ 는 우리가 알고 있는 함수이며, 이 방정식은 간단히 변수를 다음과 같이 양변으로 분리하여 놓아서 풀 수 있다.

$\frac{dy}{y} = -f(t)\, dt$

위 식을 적분하여 다음의 결과를 얻는다.

y = A e - F (t)

여기서

$F(t) = \int f(t)\,dt.$

$A$ 는 임의의 상수이다. (이 결과가 맞는지 확인하려면, 이 식을 원래의 방정식에 대입해 보면 된다.)

$f (t)$ 가 상수가 아닌 함수이고, 어떤 함수의 경우에는 (우리가 잘 알고 있더라 하더라도) 그 적분이 불가능 할 수도 있기 때문에, 실제적인 풀이는 매우 어려울 수 있다.

[편집] 비분리 1차 상미분 방정식

1차 선형 상미분 방정식(ODE, ordinary differential equation) 중 일부는 위의 예처럼 분리가 불가능하다. 이와 같은 비분리형 1차 상미분 방정식을 풀기 위해선 integrating factor를 알아야 한다. 이 방법을 아래에 설명하고 있다.

1차 상미분 방정식의 일반적인 형태를 생각해 보자.

$\frac{dy}{dx} + p(x)y = q(x)$