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오일러의 공식 - 위키백과

오일러의 공식

위키백과 ― 우리 모두의 백과사전.

z = cos x + i sin x는 복소평면에서 단위원을 뜻한다.

z = cos x + i sin x는 복소평면에서 단위원을 뜻한다.

수학자 레온하르트 오일러의 이름이 붙은 오일러 공식은 복소해석학에 등장하는 공식으로, 삼각함수와 지수함수의 밀접한 관계를 드러낸다. (오일러의 등식은 이 공식의 특수한 경우이다.)

오일러 공식은 다음과 같다. 실수 x 에 대해,

$e^{ix} = \cos x + i\;\sin x$

여기서, e는 자연로그의 밑인 상수이고, i는 제곱하여 -1이 되는 허수단위, sin, cos은 삼각함수의 사인과 코사인 함수이다.

[편집] 역사

오일러 공식은 1714년 로저 코츠가 처음 증명하였고, 1748년 오일러에 의해 재발견되고 대중적으로 알려졌다.

[편집] 증명

다음과 같은 복소수 $z$ 를 생각하자:

$z=\cos x + i\sin x \,$

양변을 $x$ 에 대해 미분하면:

$\frac{dz}{dx}=-\sin x + i\cos x \,$

이 식에 i² = -1를 사용하면:

$\frac{dz}{dx}=i^2\sin x + i\cos x=i(\cos x + i\sin x)=iz \,$

양변을 적분하면:

$\frac{1}{z}\,\frac{dz}{dx}\,= i\,$

$\int\frac{1}{z}\,dz=\int i\,dx \,$

$\ln z=ix + C \,$

이고, 여기에서 $C$ 는 적분 상수이다.

이제 $C$ 가 0이라는 것을 증명한다. $x = 0$ 일 경우를 계산해보면

$\ln z = C\,$

$z = \cos x + i\sin x = \cos 0 + i \sin 0 = 1\,$

따라서

$\ln 1 = C \,$

$C = 0 \,$

따라서 다음과 같은 식이 성립한다:

$\ln z = ix \,$

$e^{\ln z} = e^{ix} \,$

$z = e^{ix} \,$

$e^{ix} = \cos x + i\sin x \,$

원본 주소 ‘http://ko.wikipedia.org../../../%EC%98%A4/%EC%9D%BC/%EB%9F%AC/%EC%98%A4%EC%9D%BC%EB%9F%AC%EC%9D%98_%EA%B3%B5%EC%8B%9D.html’

분류: 복소해석학 | 수학 정리

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