Burgers' vergelijking
Van Wikipedia
Burgers' vergelijking is een fundamentele partiële differentiaalvergelijking uit de vloeistofdynamica. De vergelijking treedt op in diverse gebieden van de toegepaste wiskunde, zoals de modellering van gasdynamica en verkeersstromen. De vergelijking is genoemd naar Johannes Martinus Burgers (1895-1981).
De algemene vorm van Burgers' vergelijking is:
.
Hierin is μ > 0 de viscositeitscoëfficiënt. Als μ = 0, gaat Burgers' vergelijking over in de volgende basisvorm:
.
Deze vergelijking is een protoype voor vergelijking waarvan de oplossing discontinuïteiten kan ontwikkelen in de tijd (schokgolven).
[bewerk] Oplossing
De basisvorm van Burgers' vergelijking is een eerste-orde partiële differentiaalvergelijking. De oplossing kan geconstrueerd worden aan de hand van de methode van karakteristieken. Deze methode stelt dat als X(t) een oplossing van de gewone differentiaalvergelijking
![\frac{dX(t)}{dt} = u[X(t),t]](../../../math/9/a/f/9afd1c418aa58e11158eaec5c485eb2b.png)
is, dan de functie U(t): = u[X(t),t] constant is als functie van t. Dus [X(t),U(t)] is een oplossing van het stelsel gewone differentiaalvergelijkingen:
De oplossingen van dit stelsel worden in termen van de beginwaarden gegeven door de vergelijkingen:
- X(t) = X(0) + tU(0)
- U(t) = U(0).
Het substitueren van X(0) = η resulteert in U(0) = u[X(0),0] = u(η,0). Het systeem gaat over in
- X(t) = η + tu(η,0)
- U(t) = U(0).
Conclusie:
- u(η,0) = U(0) = U(t) = u[X(t),t] = u[η + tu(η,0),t].
Dit is een impliciete relatie die de oplossing van de basisvorm van Burgers' vergelijking vastlegt.
[bewerk] Externe link
- Burgers' Equation op EqWorld
