Groepentheorie

Van Wikipedia

Groepentheorie is in de wiskunde, zoals de naam al aangeeft, de studie van groepen, ook te omschrijven als de studie van symmetrieën.

De groepentheorie is gelijk ontstaan met de theorie van het oplossen van vergelijkingen. Lagrange heeft als eerste geprobeerd deze twee theorieën te combineren. Maar de theorie, die hierover gaat heet de Galoistheorie, de gebruikte groepen heten de Galoisgroepen.

Polynomen worden door hun Galoisgroep ingedeeld. De Galoistheorie is dus gefundeerd op de groepentheorie.

Groepen worden veel in de wiskunde gebruikt om de symmetrie van een wiskundige grootheid mee te beschrijven. De in een groep besloten symmetrie wordt bepaald door de eigenschappen die onder de toegestane transformaties niet veranderen.

In de algebraische topologie worden groepen gebruikt om de vaste eigenschappen van topologische ruimten te beschrijven. De vaste eigenschap van een ruimte verandert niet onder een vervorming van diezelfde ruimte. Voorbeelden van de topologische groepen zijn de fundamentele groep, homologe groepen and cohomologe groepen.

Lie-groepen, genoemd naar Sophus Lie kunnen bij differentiaalvergelijkingen en variëteiten worden gebruikt. Deze tak van de wiskunde heet de harmonische analyse. De harmonische analyse combineert de analyse van functies en de groepentheorie, de groepen worden gebruikt om de symmetrie binnen analytische grootheden te beschrijven.

De stelling van Burnside is een gevolg van de groepentheorie. In de combinatoriek wordt deze stelling gebruikt om het tellen van bijvoorbeeld permutaties te vereenvoudigen.

Groepentheorie heeft vele toepassingen, vooral in de natuurkunde, de scheikunde en de materiaalkunde.

In de scheikunde en de materiaalkunde worden groepen gebruikt om er de structuur van kristallen en de symmetrie binnen moleculen mee te beschrijven.

In de natuurkunde geven de groepen de symmetrie aan, waaraan de krachten tussen de verschillende elementaire deeltjes moeten voldoen. Vooral Lie-groepen zijn belangrijk, zij geven de mogelijke configuraties van krachten en deeltjes. Deze theorie resulteert in de Gauge theory.

[bewerk] Geschiedenis

Euler, Lagrange, Legendre, Galois, Gauss en Abel leefden na elkaar in de achttiende en de negentiende eeuw.

Hun onderwerp was het oplossen van vergelijkingen, de getallentheorie en de meetkunde. Deze vakgebieden liggen aan de grondslag van de groepentheorie; en deze wiskundigen waren dus de grondleggers van de groepentheorie.

Galois legde het verband tussen groepen en lichamen. Deze theorie heet nu de Galoistheorie. De lichamen in deze theorie zijn de lichamen, die de wortels van het te ontbinden polynoom bevatten.

Ruffini volgde dezelfde weg, hij onderzocht ook het verband tussen de oplossingen van vergelijkingen en groepen, maar hij breidde de groepentheorie daarbij uit.

Arthur Cayley en Augustin Louis Cauchy onderkenden als een van de eersten het belang van de groepen. Cauchy voerde een aantal belangrijke stellingen in, onder andere over het aantal elementen in een groep.

Joseph Alfred Serret gaf de theorie bredere bekendheid, hoofdstuk IV van zijn werk over de algebra gaat erover. Camille Jordan's Traité des Substitutions was een bekend boek over de groepentheorie. Het werk van Eugen Netto (1882), werd in (1892) door Cole in het Engels vertaald.

Andere bekende namen uit de negentiende eeuw zijn Joseph Louis François Bertrand, Charles Hermite, Ferdinand Georg Frobenius, Leopold Kronecker en Emile Mathieu. Bijvoorbeeld naar Mathieu is een familie van groepen genoemd.

Vanaf 1884 werd het onderzoek naar groepen systematisch uitgevoerd.

Sophus Lie begon met het onderzoek naar de groepen, die nu naar hem genoemd zijn, de Lie-groepen. Dat zijn geometrisch continue groepen. Anderen waren Wilhelm Killing, Eduard Study, Issai Schur, Ludwig Maurer en Élie Cartan.

Eindige groepen werden bestudeerd door Felix Klein, ook weer door Lie, Henri Poincaré en Charles Émile Picard.

In het midden van de 20e eeuw is geprobeerd alle enkelvoudige groepen te bepalen. Dat is zeer veel werk geweest, maar het idee is, dat alle enkelvoudige groepen bekend zijn. Ook met behulp van computers worden er geen nieuwe enkelvoudige groepen meer bij gevonden.

Ook Emil Artin, Emmy Noether en de noor Peter Ludwig Mejdell Sylow zijn in de wiskunde nog met groepen bezig geweest. Sylow voerde een aantal belangrijke stellingen in, die naar hem vernoemd zijn.

[bewerk] Belangrijke stellingen

de stelling van Burnside: Het aantal banen in een groep is gelijk aan het gemiddelde aantal dekpunten van alle permutaties in een groep.
de theorie van Cayley: Iedere groep, die in een rij n plaatsen permuteert, is isomorf met een permutatiegroep.
de theorie van Jordan en Hölder: twee compositierijen van een groep zijn equivalent.
de stelling van Lagrange: Het aantal elementen in een ondergroep H van de groep G deelt het aantal elementen van G.
de stellingen van Sylow: Indien r de hoogste macht van het priemgetal p is, zodat $p r$ het aantal elementen in de groep G deelt, dan heeft G een ondergroep met $p r$ elementen.