Isogonale verwantschap

Van Wikipedia

P en Q zijn isogonaal verwanten

Constructie van isogonaal verwante van P met behulp van de voetpuntsdriehoek.

Voetpuntscirkel van twee isogonaal verwante punten

Isogonaal verwanten P en Q op een van de cirkels die invariant is onder isogonale verwantschap.

In een driehoek ABC heten punten P en Q isogonaal verwant als

$\angle CAP = \angle QAB$ ,
$\angle ABP = \angle QBC$ én
$\angle BCP = \angle QCA$ .

Ieder punt P dat niet op een zijlijn van ABC ligt heeft een isogonaal verwante, hetgeen onmiddellijk duidelijk is uit de goniometrische vorm van de Stelling van Ceva. Wanneer P op de omgeschreven cirkel van ABC ligt, dan is de isogonaal verwante een punt op de oneindig verre rechte.

Bij uitbreiding wordt wel gezegd dat elk hoekpunt van ABC isogonaal verwant is met elk punt van de overstaande zijde.

Enkele isogonaal verwante paren:

Het hoogtepunt en het middelpunt van de omgeschreven cirkel,
Het zwaartepunt en het punt van Lemoine,
Het punt van Kosnita en het middelpunt van de negenpuntscirkel,
Het middelpunt van de ingeschreven cirkel met zichzelf,
Elk middelpunt van een aangeschreven cirkel met zichzelf,
De punten van Brocard,
Brandpunten van een kegelsnede ingeschreven in ABC.
Het punt van Fermat en een van de isodynamische punten.

Soms worden ook de hoektransversalen door twee isogonaal verwante punten, en dus antiparallel met de benen van die hoek, isogonaal verwant genoemd.

[bewerk] Constructies

De isogonaal verwante Q van een punt P kan geconstrueerd worden:

Door het spiegelen van lijnen AP, BP en CP in de corresponderende bissectrices;
Neem de voetpuntsdriehoek van P. De lijnen door de hoekpunten van ABC loodrecht op de corresponderende zijden van de voetpuntsdriehoek snijden in de isogonaal verwante van P, zie figuur;
Door gebruik te maken van de volgende eigenschap: Twee isogonaal verwante punten hebben dezelfde voetpuntscirkel.

[bewerk] Involutie

Isogonale verwantschap kan worden opgevat als een involutie $τ$ . In barycentrische coördinaten is de involutie gegeven door

$\tau : (x:y:z) \mapsto \left(a^2yz : b^2xz : c^2xy \right).$

Een lijn, die niet door A, B of C gaat, wordt afgebeeld op een kegelsnede door de hoekpunten van ABC:

Als de lijn de omgeschreven cirkel niet snijdt een ellips,
Als de lijn de omgeschreven cirkel raakt een parabool,
Als de lijn de omgeschreven cirkel snijdt een hyperbool.
Als de lijn door het middelpunt van de omgeschreven cirkel gaat een gelijkzijdige hyperbool.

[bewerk] Invariante kegelsnedes

Het beeld van een kegelsnede onder isogonale verwantschap is in het algemeen een vierdegraads kromme.

Uitzondering vormen onder meer de cirkels met als middellijn een lijnstuk tussen twee van de vier middelpunten van de ingeschreven en aangeschreven cirkels I, I_a, I_b en I_c. Deze zes cirkels zijn invariant onder isogonale verwantschap. Elk punt op deze cirkels wordt afgebeeld op zijn spiegelbeeld in de definiërende diameter. Elk van de zes cirkels gaat ook door twee hoekpunten van ABC.

Meer algemeen geldt dat elke kegelsnede door