Kansgenererende functie

Van Wikipedia

In de kansrekening is de kansgenererende functie van een discrete stochastische variabele met natuurlijke getallen als waarden, een machtreeks met de verschillende kansen als coëfficiënten.

Inhoud

1 Definitie
2 Eigenschappen
3 Voorbeelden

[bewerk] Definitie

Als N een discrete stochastische variabele is met uitsluitend natuurlijke getallen als waarden, is de kansgenererende functie van N gedefinieerd als:

$G_N(z) = \operatorname{E}(z^N) = \sum_{n=0}^\infty P(N=n)z^n,$

[bewerk] Eigenschappen

[bewerk] Genereren van kansen

De kansgenererende functie genereert inderdaad de kansen:

$P(N=n) = \frac{G_N^{(n)}(0)}{n!}.$

[bewerk] Gelijke verdeling

Omdat de kansgenererende functie eenduidig met de kansen verbonden is, hebben twee stochastische variabelen dezelfde verdeling als hun kansgenererende functies gelijk zijn.

[bewerk] Momentgenererende functie

Tussen de kansgenererende functie en de momentgenererende functie bestaat de volgende relatie:

$G_N(e^t) = M_N(t).\,$

[bewerk] Som van twee stochastische variabelen

De kansgenererende functie van de som X + Y van twee onderling onafhankelijke stochastische variabelen is het product van de beide afzonderlijke kansgenererende functies, immers:

$G_{X+Y}(z) = \operatorname{E}(z^{X+Y}) = \operatorname{E}(z^X)\operatorname{E}(z^Y)=G_X(z) G_Y(z)\,.$

[bewerk] Voorbeelden

[bewerk] Ontaarde verdeling

De kansgenererende functie van een in het punt k ontaarde verdeling, waarvoor dus P(N = k) = 1, is

$G(x) = z^k.\,$

[bewerk] Bernoulli-verdeling

De kansgenererende functie van de Bernoulli-verdeling met parameter p, is

$G(z) = (1-p) + pz.\,$

[bewerk] Binomiale verdeling

De kansgenererende functie van de binomiale verdeling met parameters n en p, is

$G(z) = \left((1-p) + pz\right)^n.$

Merk op dat dit de n-de macht is van de kansgenererende functie van de Bernoulli-verdeling, in overeenstemming met een van de bovengenoemde eigenschappen.

[bewerk] Geometrische verdeling

De kansgenererende functie van de geometrische verdeling met parameter p, is

$G(z) = \frac{pz}{1-(1-p)z}.$

[bewerk] Negatief-binomiale verdeling

De kansgenererende functie van de negatief-binomiale verdeling met parameters m en p, is

$G(z) = \left(\frac{pz}{1-(1-p)z}\right)^m.$

Merk op dat dit de m-de macht is van de kansgenererende functie van de geometrische verdeling, in overeenstemming met een van de bovengenoemde eigenschappen.

[bewerk] Poisson-verdeling

De kansgenererende functie van de Poisson-verdeling met parameter μ, is

$G(z) = e^{\mu(z - 1)}.\,$

Categorie: Kansrekening