Moduul

Van Wikipedia

Algebraïsche structuren
Monoïde Groep Ring / Ideaal Lichaam/Veld
Moduul Vectorruimte Algebra
Categorie Tralie Boole-algebra

Het wiskundige begrip moduul veralgemeent het begrip vectorruimte tot situaties waarbij de getallenverzameling niet noodzakelijk een lichaam is, maar slechts een ring.

[bewerk] Definities

Zij $R$ een ring. Een linkermoduul over $R$ is een drietal $(M,+,\cdot)$ waarbij $(M, + )$ een abelse groep is, en $\cdot$ een bewerking $R\times M\to M$ , scalaire vermenigvuldiging genaamd, die op al de volgende manieren compatibel is met de optelling in $M$ en de bewerkingen van de ring $R$ :

$\cdot(r+s,m)=\cdot(r,m)+\cdot(s,m)$
$\cdot(r,m+n)=\cdot(r,m)+\cdot(r,n)$
$\cdot(r,\cdot(s,m))=\cdot(rs,m)$

(voor alle willekeurige $r,s\in R$ en $m,n\in M$ ).

Gewoonlijk schrijven we de scalaire vermenigvuldiging met infix-notatie:

$\cdot(r,m)=r \cdot m = rm$

De bovengenoemde eigenschappen zien er dan wat gewoner uit:

$(r+s)\cdot m = r\cdot m+s\cdot m$
$r\cdot(m+n)=r\cdot m+r\cdot n$
$r\cdot(s\cdot m)=(rs)\cdot m$

Als $R$ een ring met eenheidselement is, wordt vaak expliciet of impliciet verondersteld dat $1\cdot m=m$

De punt-notatie $\cdot$ hierboven is nuttig om de definitie expliciet te maken, maar meestal wordt de scalaire vermenigvuldiging zonder bewerkingsteken genoteerd, net als de inwendige vermenigvuldiging van elementen van $R$ .

Op analoge wijze wordt een rechtermoduul gedefinieerd met een "rechter" scalaire vermenigvuldiging, als in plaats van eigenschap 3 geldt:

3a. $\cdot(s,\cdot(r,m))=\cdot(rs,m)$

Voor een rechtermoduul schrijven we de "rechtse" scalaire vermenigvuldiging als:

$\cdot(r,m)=m \cdot r = mr$

Eigenschap 3a luidt dan:

$(m \cdot r) \cdot s=m\cdot (rs)$

Als de $R$ een commutatieve ring is, valt het onderscheid tussen linker- en rechtermoduul weg en spreken we eenvoudig van een moduul.

Een bimoduul is een moduul dat een linkermoduul over een ring R en een rechtermoduul over een ring S is, waarbij de linker en rechter scalaire vermenigvuldigingen compatibel zijn, d.w.z.:

$\cdot_R(r,\cdot_S(s,m))=\cdot_S(s,\cdot_R(r,m)$ ,