Monoïde
Van Wikipedia
| Algebraïsche structuren |
|---|
| Monoïde |
| Moduul |
| Categorie |
Een monoïde is in de wiskunde, meer specifiek in de abstracte algebra, een verzameling voorzien van een associatieve binaire bewerking en een neutraal element, ook wel eenheidselement genoemd. Het is daarmee een iets rijkere algebraïsche structuur dan een halfgroep waarvoor het bestaan van een neutraal element niet vereist is. Een monoïde wordt daarom wel aangeduid als een unitaire halfgroep, d.w.z. een halfgroep met een eenheidselement.
[bewerk] Definitie
Een monoïde (G, * ) is een niet-lege verzameling G met een associatieve binaire bewerking 
en een voor de bewerking neutraal element e.
Het is gebruikelijk om a * b te schrijven in plaats van * (a,b) voor het resultaat van de bewerking * toegepast op de elementen a en b van G.
De genoemde eigenschappen van de bewerking houden in:
[bewerk] Opmerking
Soms eist men dat er slechts een neutraal element is. Deze eis is echter overbodig, want de eenduidigheid van het neutrale element kan bewezen worden. Stel namelijk dat ook e' neutraal is, dan is e = e' * e = e'
[bewerk] Enkele voorbeelden
- De natuurlijke getallen met de optelling, genoteerd als (ℕ, +), is een monoïde met 0 als neutraal element.
- De gehele getallen met de optelling, genoteerd als (ℤ, ·), is een monoïde met 0 als neutraal element.
- De natuurlijke getallen zonder 0 met de optelling, genoteerd als (ℕ0, +), is géén monoïde, want uit 1 + n = 1 volgt noodzakelijk n = 0.
