Pareto-verdeling

Van Wikipedia

De Pareto-verdeling is een continue kansverdeling genoemd naar de Italiaanse econoom Vilfredo Pareto. De verdeling is van toepassing op een groot aantal praktijksituaties. De verdeling wordt ook wel Bradford-verdeling genoemd. Oorspronkelijk gebruikte Pareto deze verdeling als model voor de verdeling van rijkdom. Het Pareto-principe, bekend als de "80-20"-regel, zegt dat 20% van de bevolking 80% van de rijkdom bezit. De Pareto-verdeling is geschikt om zo'n situatie te beschrijven. Het principe is ook op andere situaties van toepassing, zoals:

de frequentie van de woorden in tekst (slechts een klein aantal woorden vormt het grootste deel van de tekst)
de omvang van menselijke nederzettingen.
de grootte van bedrijven (een klein aantal grote bedrijven, een groot aantal kleine)

Inhoud

1 Definitie
- 1.1 Verwachtingswaarde en variantie
2 Verband met de exponentiële verdeling
3 Zie ook
4 Referenties

[bewerk] Definitie

De Pareto-verdeling met parameters a>0 en λ>0 is een continue kansverdeling, gedefinieerd voor x>a en waarvan de overschrijdingskansen gegeven worden door:

$P(X>x)=\left(\frac ax\right)^\lambda.$

De verdelingsfunctie wordt dus voor x>a gegeven door:

$P(X\le x)=1-\left(\frac ax\right)^\lambda$

en de kansdichtheid voor x>a door:

$f(x;a,\lambda)=\left(\frac{\lambda}{a}\right)\left(\frac ax\right)^{\lambda+1}.$

[bewerk] Verwachtingswaarde en variantie

De verwachtingswaarde van de Pareto-verdeling is:

$\operatorname{E}(X) = \begin{cases}\displaystyle a \frac{\lambda}{\lambda-1} & \lambda > 1\\ \infty & \lambda \leq 1 \end{cases}$ .

en de variantie:

$\operatorname{var}(X) = \begin{cases}\displaystyle a^2 \frac{\lambda}{(\lambda-1)^2(\lambda-2)} & \lambda > 2 \\ \infty & \lambda \leq 2 \end{cases}$ .

[bewerk] Verband met de exponentiële verdeling

De Pareto-verdeling staat in direct verband met de exponentiële verdeling. Als de stochastische variabele X exponentieel verdeeld is met parameter λ, heeft $e X$ een Pareto-verdeling met parameters a=1 en λ, immers, voor y>1 is:

$P(e^X<y)=P(X\le \log(y))=1-e^{-\lambda \log(y)}=1-\left(\frac 1y\right)^\lambda$