Translatiesymmetrie

Van Wikipedia

Translatiesymmetrie is een bijzondere vorm van symmetrie waarbij voor ieder punt van een object geldt dat het hetzelfde blijft (invariantie) wanneer het verschoven wordt over een bepaalde lengte t. Translatiesymmetrie is een begrip dat vooral wordt toegepast bij de beschrijving van kristallijne materialen.

[bewerk] Wiskundige beschrijving van translatiesymmetrie

Wiskundig kan met stellen dat een functie f(x) translatiesymmetrie bezit als geldt dat f(x+t)=f(x) voor alle waarden van x. Dat laatste houdt in dat het ook moet gelden voor f(x+t), d.w.z. f(x+t) moet gelijk zijn aan f(x+t+t)= f(x+2t). Een functie met translatiesymmetrie is daarom een periodieke functie. Een goed voorbeeld van zo'n functie is de sinus met t=2π. Immers sin(x)=sin(x+2π)=sin(x+2nπ).

Het begrip translatiesymmetrie kan gegeneraliseerd worden naar functies van meer dimensies bijv. f(x,y,z). In dat geval wordt de verschuiving t een drie-dimensionale vector: t = (t_x,t_y,t_z).

Translatiesymmetrie kan beschreven worden met behulp van de groepentheorie. Als elementen van de groep kunnen we schrijven:

1. {E} Het identiteitselement ('Doe niets')
2. {E|t} Een simpele translatie ('Schuif over een vector t')
3. {E|t²} ('Schuif twee keer')

De inverse elementen corresponderen met 'schuif terug'. Soms (en in ieder geval bij een eindige groep) is er sluiting, d.w.z. dat men na een eindig aantal verschuivingen weer bij af is. Wiskundig: {E|tⁿ} = {E}.

Voor ieder element geldt nu dat {E|t^-m}={E|t^n-m} in de groep aanwezig is. Verder kan de volgorde waarin twee verschuivingen worden uitgevoerd omgewisseld worden. Hiermee is daarom een Abelse groep ontstaan. De verzameling translatievectoren van de groep wordt het rooster genoemd.

Het is mogelijk om translatiesymmetrie te combineren met rotatiesymmetrie, bijvoorbeeld een tweetallige as C₂. Er ontstaan dan elementen als {C₂| t²} ('roteer over π en schuif dan twee keer'). Zulke elementen vormen samen een ruimtegroep.

[bewerk] Translatiesymmetrie in kristallijne materialen

Translatiesymmetrie in een kristallijn materiaal houdt in dat men de structuureenheid telkens weer opnieuw tegenkomt wanneer men een stukje verder kijkt (transleert) in het kristal. Deze translatiesymmetrie kan men het best beschrijven door middel van een eenheidsvector of celribbe. Omdat het kristal driedimensionaal is zijn er voor een volledige beschrijving van de translatiesymmetrie drie zulke vectoren nodig die niet in één vlak liggen.

Gezamenlijk vormen deze vectoren een parallellopipedum of blok dat de eenheidscel genoemd wordt. De drie eenheidsvectoren (a,b,c) noemt men wel de celribben of celconstanten. Afhankelijk van de aan- of afwezigheid van rotatiesymmetrie kunnen de ribben willekeurige hoeken (α,β,γ) met elkaar maken of moeten zij haaks op elkaar staan. Ook aan hun relatieve lengte zijn, afhankelijk van de totale symmetrie, beperkingen opgelegd. De volgende roosters zijn mogelijk:

• triklien (a, b, c, α, β, γ alle willekeurig)
• monoklien (a, b, c, β alle willekeurig, α = γ = 90°)
• orthorombisch (a, b, c willekeurig, α = β = γ = 90°)
• tetragonaal (a = b, c willekeurig, α = β = γ = 90°)
• romboëdrisch (a = b = c, α = β = γ)
• hexagonaal (a = b, c willekeurig, α = β = 90° γ = 120°)
• kubisch (a = b = c, α = β = γ = 90°)

Een afspraak die in de kristallografie is gemaakt is om zoveel mogelijk de hoogst mogelijke symmetrie te gebruiken om een rooster te beschrijven. En waar dat mogelijk is, worden de kortste assen a, b en c gebruikt die het rooster correct beschrijven.

In sommige gevallen is het mogelijk om een rooster te beschrijven met een hogere symmetrie door het volume van de eenheidscel te vermenigvuldigen met 2, 3 of 4 (centrering). Dit resulteert dan in een zogenaamd niet-primitief rooster. Er zijn 14 combinaties van roosters met centreringen, de zogenaamde Bravaistralies.