Funkcja wykładnicza

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Funkcje matematyczne

dziedzina, obraz, przeciwobraz

Funkcje elementarne

Funkcje algebraiczne:
wymierna - niewymierna
wielomian
stała - liniowa - kwadratowa
homograficzna

Funkcje przestępne:
trygonometryczne - cyklometryczne
hiperboliczne - area
wykładnicza - logarytmiczna
potęgowa

Funkcje specjalne

błędu - Γ - Β (beta) η - W Lamberta - Bessela - ζ

Funkcje teorioliczbowe

Möbiusa - φ - π - λ

Własności

przebieg zmienności:
parzystość - monotoniczność - ograniczoność - okresowość - różnowartościowość - suriektywność - wzajemna jednoznaczność

ciągłość - różniczkowalność - całkowalność

Funkcja wykładnicza – funkcja postaci:

$f(x)=a^x\quad$ gdzie $a>0\quad$ .

Dla $a>1\quad$ jest rosnąca, dla $0<a<1\quad$ malejąca, zaś dla $\quad a=1$ stała.

Pochodna funkcji wykładniczej to:

$(a^x)'=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{a^{x+\Delta x}-a^x}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}a^x\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}=a^x \lim_{\Delta x\to 0}\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}=$

$=a^x\lim_{z\to 0}\frac{z}{\frac{\ln(1+z)}{\ln a}}= a^x\ln a \lim_{z\to 0}\frac{z}{\ln(1+z)}=a^x\ln a \lim_{z\to 0}\frac{1}{\frac{1}{z}\ln(1+z)}=$

$=a^x\ln a \lim_{z\to 0}\frac{1}{\ln(1+z)^{1/z}}=a^x\ln a \lim_{y\to \infty}\frac{1}{\ln\left(1+\frac{1}{y}\right)^y}=$

$=a^x\ln a\frac{1}{\ln \lim_{y\to \infty}\left(1+\frac{1}{y}\right)^y}=a^x\ln a\frac{1}{\ln e}=a^x \ln a$

Czyli w szczególności dla $a=e\quad$ mamy

$(e^x)'=e^x\quad$

Funkcja ta jest asymptotycznie większa niż funkcja wielomianowa, mniejsza zaś niż silnia.

Szczególnym przypadkiem funkcji wykładniczej jest tzw. eksponenta. Czyli funkcja wykładnicza o podstawie równej $e$ (czyli podstawie logarytmu naturalnego). Inne oznaczenie: $exp(x)$ .

Cechą funkcji $f(x)=e^x\quad$ jest to, że jej pochodna jest równa jej samej. Exponens jako funkcję analityczną na mocy twierdzenia Taylora można rozwinąć w szereg potęgowy: $\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$ .