Paradoks Monty Halla

Z Wikipedii

Paradoks Monty Halla to jeden z paradoksów opartych na rachunku prawdopodobieństwa. Nazwa paradoksu pochodzi od Montego Halla, autora teleturnieju Let's make a deal (w polskiej wersji Idź na całość).

Spis treści 1 Treść paradoksu 2 Rozwiązania intuicyjne 2.1 Łatwiej spudłować 2.2 Sto bramek 2.3 Prawdopodobieństwo łączne 3 Dowód

[edytuj] Treść paradoksu

Zawodnik stoi przed trzema zasłoniętymi bramkami. Za jedną z nich (za którą – wie to tylko prowadzący program) jest nagroda (umieszczana całkowicie losowo). Gracz wybiera jedną z bramek. Prowadzący program odsłania inną bramkę (co istotne – anonsując, że jest to bramka pusta) po czym proponuje graczowi zmianę wyboru.

Intuicyjnie nie ma znaczenia, czy zawodnik pozostanie przy swoim wyborze, czy nie. Okazuje się jednak, że jest inaczej. Przy wyborze strategii pozostawania przy swoim pierwszym wyborze prawdopodobieństwo wygranej wynosi 1/3. Natomiast przy wyborze "strategii zmiany" wynosi 2/3.

Oznacza to, że zawodnikowi opłaci się zmienić bramkę, ponieważ ma wtedy dwa razy większe szanse na wygraną. Paradoks wynika z niedocenienia informacji jaką "między wierszami" przekazuje prowadzący. Informacją tą jest wskazanie (zawsze!) pustej bramki.

[edytuj] Rozwiązania intuicyjne

[edytuj] Łatwiej spudłować

Załóżmy, że zawodnik wskazuje pierwotnie bramkę, za którą jest nagroda (wybierze ją z prawdopodobieństwem 1/3). Prowadzący program odsłoni wtedy jedną z pozostałych bramek i wówczas zmiana wyboru z pewnością doprowadzi do przegranej.

Jeżeli jednak zawodnik wskaże bramkę pustą (a zrobi to z prawdopodobieństwem 2/3), wówczas prowadzący program będzie musiał odsłonić drugą z dwóch pustych bramek. Zmiana wyboru z pewnością doprowadzi więc do wygranej.

Zmiana bramki zamienia miejscami prawdopodobieństwa – prawdopodobieństwo przegranej staje się prawdopodobieństwem wygranej i odwrotnie. Przy pierwszym wyborze łatwiej jest spudłować, zatem "strategia zmiany" prowadzi do łatwiejszej wygranej.

[edytuj] Sto bramek

Często przytaczanym wyjaśnieniem paradoksu jest rozszerzenie zadania na większą liczbę (np. 100) bramek. W tej sytuacji po pierwotnym wyborze gracza (powiedzmy bramki numer 13) prowadzący odsłania 98 pustych bramek zostawiając bramkę gracza i jeszcze jedną (powiedzmy: numer 7).

Oczywiste jest, że w bramce 13 nagroda znajduje się z prawdopodobieństwem 1/100. Zamiana na bramkę 7 gwarantuje wygraną w 99 przypadkach na 100. Pozostawanie przy pierwotnym wyborze jest wiarą w słuszność swoich przeczuć bez posiadania racjonalnych dowodów.

Przy tym wyjaśnieniu powstaje pytanie: Dlaczego prowadzący musi odsłonić 98 bramek, a nie jedną jak w przypadku z trzema bramkami? W przypadku trzech bramek wybór gracza jest zerojedynkowy: albo pozostaję przy wyborze, albo zmieniam. Aby sytuacja była analogiczna gracz przy stu bramkach musi mieć także taki prosty wybór (bramka 13 czy 7). Odsłonięcie jednej bramki spowodowałoby, że gracz miałby 99 wyjść z sytuacji, co jest zadaniem jakościowo różnym.

[edytuj] Prawdopodobieństwo łączne

Można rozpatrywać prawdopodobieństwo znalezienia się nagrody nie w stosunku do każdej bramki, ale dzieląc je na dwie grupy. W początkowo wybranej przez gracza bramce (nazwijmy ją G) nagroda znajduje się z prawdopodobieństwem 1/3. A zatem w pozostałych dwóch bramkach rozpatrywanych łącznie (B i C) z prawdopodobieństwem 2/3.

Przez fakt otworzenia bramki przez prowadzącego prawdopodobieństwa nie mogą się zmienić (nikt przecież nie przesuwa nagrody). Skoro prowadzący pokazuje, że w jednej z dwóch pozostałch bramek (powiedzmy: B) prawdopodobienstwo wystąpienia nagrody wynosi 0, to całe prawdopodobieństwo dotyczące obu bramek (B i C) musi się "skupić" w bramce C. Zatem wynosi dla niej 2/3.

[edytuj] Dowód

Od strony rachunku prawdopodobieństwa sytuację tę opisuje wzór Bayesa.

Oznaczmy:

• zdarzenie, że gracz wybrał poprawnie za pierwszym razem: G,
• Zdarzenie, że nagroda jest w jednej z dwóch pozostałych bramek, odpowiednio: B i C,
• M_X - zdarzenie, że prowadzący odsłoni bramkę X,

Zakładamy, że nagroda umieszczana jest całkowiecie przypadkowo, zatem:

.

Zachowanie prowadzącego nie jest całkowicie deterministyczne, ale można ustalić prawdopodobieństwa jego wyborów. Istotne jest jedynie, że jeżeli gracz wybrał źle to zostanie odsłonięta trzecia (nie jego i nie z nagrodą), pusta bramka:

.

Prawdopodobieństwo wygranej przy trwaniu przy swoim pierwotym wyborze wynosi oczywiście:

,

natomiast prawdopodobieństwo wygranej przy "starategii zmiany" (zastosowano wzór na prawdopodobieństwo całkowite i wzór Bayesa):

P(S_zmiana) =