Własność skończonych przekrojów
Z Wikipedii
Własność skończonych przekrojów to własność rodzin zbiorów rozważana i używana głównie w topologii i teorii mnogości.
[edytuj] Definicja
Mówimy, że rodzina zbiorów 
ma własność skończonych przekrojów jeśli przekrój dowolnej skończonej podrodziny jest niepusty. Innymi słowy, ma własność skończonych przekrojów jeśli dla dowolnych 
, 
, mamy że 
.
Często zamiast mówić że ma własność skończonych przekrojów stwierdza się, że ma fip, używając skrótu na angielską nazwę finite intersection property.
[edytuj] Przykłady, własności, zastosowanie
- Następujące rodziny zbiorów mają własność skończonych przekrojów:
- (i)
gdzie 
są zbiorami niepustymi, - (ii)
, - (iii) rodzina tych podzbiorów zbioru liczb naturalnych które mają dopełnienie skończone,
- (iv) rodzina tych borelowskich podzbiorów odcinka [0,1] które mają miarę Lebesgue'a 1.
- Jeśli jest rodziną podzbiorów zbioru X z własnością skończonych przekrojów, to zbiór
dla pewnych , 
- jest filtrem podzbiorów X. Ponadto, istnieje filtr maksymalny (ultrafiltr) podzbiorów X zawierający . (To ostatnie stwierdzenie wymaga pewnej formy AC.)
- Przypuśćmy, że (X,τ) jest przestrzenią topologiczną. Wówczas
- (a) X jest zwarta wtedy i tylko wtedy gdy każda rodzina domkniętych podzbiorów X która ma własność skończonych przekrojów ma też niepusty przekrój,
- (b) X jest przeliczalnie zwarta wtedy i tylko wtedy gdy każda przeliczalna rodzina domkniętych podzbiorów X która ma własność skończonych przekrojów ma też niepusty przekrój.
