Espaço topológico

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Espaços topológicos são estruturas que permitem a formalização de conceitos tais como convergência, conexidade e continuidade. Eles aparecem em praticamente todos os ramos da matemática moderna e são uma noção unificadora central. O ramo da matemática que estuda os espaços topológicos é chamado Topologia.

[editar] Definição

Uma topologia num conjunto $X\,\!$ é uma coleção $\tau\,\!$ de partes de $X\,\!$ , chamados os abertos da topologia, com as seguintes propriedades:

$\varnothing , X \in \tau$ ;
Se $A_1,A_2 \in \tau$ , então $A_1\cap A_2\in\tau$ ;
Dada uma família arbitrária $(A_\lambda)_{\lambda\in L}$ , com $A_\lambda\in\tau, \forall\lambda\in L$ , tem-se $(\bigcup_{\lambda\in L}A_{\lambda})\in\tau$ .

Um espaço topológico é um par $( X, \tau)\,\!$ onde $X\,\!$ é um conjunto e $\tau\,\!$ é uma topologia em $X\,\!$ .

[editar] Exemplos

Se $X\,\!$ é um conjunto, a topologia $\tau=P(X)\,\!$ , onde $P(X)\,\!$ é o conjunto das partes de $X\,\!$ é denominada a topologia discreta sobre $X\,$ .
Se $X\,\!$ é um conjunto, a topologia $\tau=\{\varnothing, X\}$ é denominada a topologia grosseira sobre $X\,$ .
Um espaço métrico $(X,d)\,\!$ tem uma estrutura natural de espaço topológico para $\tau\,\!$ definido como o conjunto das reuniões de bolas abertas $B(x,\delta)=\{y\in X:d(x,y)<\delta\}\,\!$ .

[editar] Fechados

Ver artigo principal: Conjunto fechado.

Um subconjunto de um espaço topológico diz-se fechado se o seu complementar for aberto.

[editar] Propriedades

Dada uma família não-vazia de topologias $\{ \tau_{\lambda} \}\,$ , a sua interseção $\bigcap_{\lambda} \tau_{\lambda}\,$ é uma topologia.
Essa propriedade permite construir topologias mínimas, ou seja, a menor topologia que satisfaz determinadas propriedades, como sendo a interseção de todas as topologias que satisfazem determinada propriedade (desde que essa propriedade seja hereditária para interseções!).
Por exemplo, dada uma coleção S de subconjuntos de X (ou seja, $S \subset P(X)\,$ ), sabemos que existe uma topologia que contém S, a topologia discreta $\tau = P(X)\,$ . Portanto, a família F de todas as topologias que contém S não é vazia, e podemos formar a sua interseção. Esta é a topologia gerada por S, e S é uma sub-base desta topologia.
Seja $\tau_X\,$ uma topologia em X, e $Y \subset X\,$ . Para tornar Y um subespaço topológico, existe uma topologia canônica em Y, $\tau_Y = \{ A \cap Y | A \in \tau_X \},$ . Uma forma interessante de construir essa topologia se baseia no conceito de função contínua. A função inclusão $i: Y \rightarrow X , i(y) = y\,$ é contínua para a topologia discreta em Y, portanto a família de todas as topologias em Y para as quais i é contínua é um conjunto não-vazio. A topologia canônica de Y é precisamente a menor topologia que torna a inclusão uma função contínua.