Forma canônica de Jordan

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Sejam $V$ um espaço vetorial de dimensão finita e $T$ um operador linear de $V$ . Seja, também,

$p_T(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{m_1}\cdots(\lambda-\lambda_n)^{m_n}((\lambda-\alpha_1)^2+\beta_1^2))^{p_1}\cdots((\lambda-\alpha_k)^2+\beta_k^2))^{p_k}$

o polinômio característico de $T$ , onde $α r + i β r$ é uma raiz complexa de $T$ com $\lambda_r\neq\lambda_s$ e $(\alpha_r,\beta_r)\neq(\alpha_r,\beta_r)$ se $r\neq s$ .

Se $\lambda\in\mathbb{R}$ é um autovalor de $T$ , denota-se $J (λ, r)$ a matriz quadrada de ordem $r$ dada por

$J(\lambda;r)=\begin{bmatrix}\lambda&1&0&\cdots&0\\ 0&\lambda&1&\cdots&0\\ 0&0&\lambda&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&\lambda\end{bmatrix}_{r\times r}.$

que pode ser escrita através da soma de duas matrizes:

$J(\lambda;r)=\lambda\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots&0\\ 0&1&0&\cdots&0\\ 0&0&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&1\end{bmatrix}_{r\times r}+\begin{bmatrix}0&1&0&\cdots&0\\ 0&0&1&\cdots&0\\ 0&0&0&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&0\end{bmatrix}_{r\times r}=\lambda I+N,$

onde $N$ é uma matriz nilpotente, pois $N r = 0$ .

Se $α + i β$ é uma raiz complexa de $p T (λ)$ , define-se, analogamente:

$R(\alpha,\beta;r)=\begin{bmatrix}A&\bar{1}&0&\cdots&0\\ 0&A&\bar{1}&\cdots&0\\ 0&0&A&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&A\end{bmatrix}_{n\times n},$

onde

$A=\begin{bmatrix}\alpha&\beta\\ -\beta&\alpha\end{bmatrix}\ \text{e}\ \bar{1}=\begin{bmatrix}1&0\\ 0&1\end{bmatrix}$

Se $B_1,\ldots,B_k$ são matrizes quadradas, não necessariamente de ordens iguais, define-se $\text{diag}\ (B_1,\ldots,B_k)$ como sendo a matriz quadrada de ordem iguai à soma das ordens de $B_1,\ldots,B_k$ dada por

$\begin{bmatrix}B_1&0&\cdots&0\\ 0&B_2&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&B_k\end{bmatrix}$

[editar] Teorema (de Jordan)

Sejam $V$ um espaço vetorial de dimensão finita e $T$ um operador linear de $V$ . Se

$p_T(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{m_1}\cdots(\lambda-\lambda_n)^{m_n}((\lambda-\alpha_1)^2+\beta_1^2)^{p_1}\cdots((\lambda-\alpha_k)^2+\beta_k^2)^{p_k},$

onde $α r + i β r$ é uma raiz complexa de $T$ com $\lambda_r\neq\lambda_s$ e $(\alpha_r,\beta_r)\neq(\alpha_r,\beta_r)$ se $r\neq s$ e $β r > 0$ , então existe uma base com relação a qual a matriz de $T$ é da forma

$J=\text{diag}\ (J_1,\ldots,J_p,R_1,\ldots,R_q),$

onde $J_1,\ldots,J_p$ são da forma $J(\lambda;r),\,r\in\mathbb{N}$ e $\lambda\in\{\lambda_1,\ldots,\lambda_n\}$ e $R_1,\ldots,R_q$ são da forma $R(\alpha,\beta;n),\,n\in\mathbb{N}$ e $(\alpha,\beta)\in\{(\alpha_1,\beta_1),\ldots,(\alpha_k,\beta_k)\}$ .