Teorema da contração
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- Nota: Este é um teorema para espaços métricos compactos. Se procura o teorema do ponto de fixo de Banach, consulte Teorema do ponto fixo de Banach.
O teorema da contração estabelece a existência e unicidade de pontos fixos para aplicação contrativas em espaços métricos completos compactos. É muito semelhante com o teorema do ponto fixo de Banach, porém não exige que a contração seja uniforme mas exige que o espaço seja compacto.
Índice |
[editar] Definições e enunciado
Seja 
um espaço métrico completo compacto e 
uma aplicação.
Diz-se que 
é uma contração se:
O teorema afirma que então existe um único ponto 
tal que:
Observe que toda contração é uma função contínua.
[editar] Demonstração da unicidade
Suponha que admita dois pontos fixos diferentes e 
. Então:
, um absurdo.
[editar] Demonstração da existência
Defina a função auxiliar 
como:
Esta função é contínua, pois o é, logo assume um mínimo no compacto :
, para algum 
.
Resta-nos mostrar que é um ponto fixo de , o que equivale a mostrar que 
.
Mas, 
, se acontecer a desigualdade estrita 
, podemos definir 
e temos:
, assim 
, do fato de ser mínimo.
, um absurdo.
E o resultado segue.
