Serie (matematică)

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

În matematică, o serie este des reprezentată ca sumă a unui şir de termeni. Astfel, o serie este reprezentată ca o listă de numere cu operatori de adunare între ei, cum este de exemplu acest şir de numere:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 99 + 100

În majoritatea cazurilor de interes termenii şirului sunt determinaţi după o regulă, cum ar fi o formulă, un algoritm, un şir de măsurători sau chiar un generator de numere aleatoare.

Seriile pot fi finite sau infinite. Seriile finite pot fi rezolvate cu algebra elementară, în timp ce seriile infinite necesită utilizarea instrumentelor din analiza matematică, iar acestea trebuie aplicate în mod riguros.

Exemplele simple de serii includ sumele parţiale de progresii aritmetice, scrise astfel:

$\sum_{n=0}^k (an+b);$

şi sumele parţiale de progresii geometrice, scrise astfel:

$\sum_{n=0}^k a^{n}.$

[modifică] Serii infinite

Suma unei serii infinite a₀ + a₁ + a₂ + ... este limita şirului de sume parţiale

$S_N = a_0 + a_1 + a_2 + \cdots + a_N,$

când N → ∞. Această limită poate avea o valoate finită sau nu. Dacă limita este finită atunci se spune că seria este convergentă, daca limita nu este finită atunci se spune că seria este divergentă.

Probabil cea mai simplă serie infinită convergentă este:

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots$

Se poate "vizualiza" convergenţa ei pe axa numerelor reale: ne putem imagina o linie de lungime 2, pe care se marchează succesiv segmente cu lungimile 1, ½, ¼, etc. Întotdeauna va se va putea marca următorul segment, deoarece dimensiunea liniei rămasă nemarcată va fi întotdeauna aceeaşi cu cea a ultimului segment marcat: când a fost marcat segmentul ½, a mai rămas o bucată nemarcată de lungime ½, deci putem să marcăm următorul segment de ¼. Acest argument nu demonstrează că suma este egală cu 2 (deşi este), ci demonstrează că este cel mult 2 — in alte cuvinte, seria are o limită superioară.

Această serie este o serie geometrică iar matematicienii de obicei o scriu astfel:

$\sum_{n=0}^\infty 2^{-n}=2.$

unde termenii a_n sunt numere reale (sau complexe). Spunem că seria converge la S, sau că suma ei este S, dacă limita

$\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{n=0}^N a_n$

există şi este egală cu S. Dacă nu există nu astfel de număr atunci se spune că seria este divergentă.

[modifică] Definiţia formală

Matematicienii de obicei definesc o serie ca o pereche de şiruri: şirul de termeni al seriei: a₀, a₁, a₂, ... ; şi şirul de sume parţiale S₀, S₁, S₂, ... unde $S_N = \sum_{n=0}^N a_n$ . Notaţia: $\sum_{n=0}^\infty a_n$ reprezintă o unificare a acesor două şiruri, care este întotdeauna bine definită, dar care poate să fie convergentă sau nu. În cauzul în care converge, i.e., dacă şirul de sume parţiale S_N are o limită, notaţia este de asemenea folosită pentru a se face referire la limita şirului.

De asemenea, mai există şi alte noţiuni de convergenţă al unui astfel de şir (absolut convergenţa, sumare etc). În cazul în care elementele şirului (deci ale seriei) nu sunt numere obişnuite ci funcţii, se pot defini şi alte tipuri de convergenţă (convergenţă punctuală, uniform convergenţa etc).

[modifică] Câteva tipuri de serii infinite

O serie geometrică este o serie în care fiecare termen succesiv este obţinut prin înmulţirea termenului anterior printr-o constantă (numită raţie). De exemplu:

$1 + {1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 8} + {1 \over 16} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty{1 \over 2^n}.$

În general, seria geometrică

$\sum_{n=0}^\infty z^n$

converge dacă şi numai dacă |z| < 1.

Seria armonică este seria:

$1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 4} + {1 \over 5} + \cdots =\sum_{n=1}^\infty {1 \over n}.$

Seria

$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^r}$

converge dacă r > 1 şi este divergentă dacă r ≤ 1, acest lucru poate fi arătăt cu ajutorul criteriului integral.

O serie alternată este o serie în care termenii alternează semnele. Exemplu:

$1 - {1 \over 2} + {1 \over 3} - {1 \over 4} + {1 \over 5} - \cdots =\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} {1 \over n}.$

O serie telescopică

$\sum_{n=1}^\infty (b_n-b_{n+1})$

converge dacă şirul b_n converge la o limită L când n tinde la infinit. Suma seriei este atunci b₁ − L.

[modifică] Absolut convergenţa

Articol principal: Absolut convergenţa.

Se spune că o serie

$\sum_{n=0}^\infty a_n$

converge absolut dacă seria valorilor absolute

$\sum_{n=0}^\infty \left|a_n\right|$

converge. În acest caz seria iniţială şi orice altă permutare a ei converge şi converge la aceeaşi sumă.

[modifică] Criterii de convergenţă

Articol principal: Criterii de convergenţă.

Criteriile de comparaţie se folosesc pentru determinarea naturii unei serii (convergentă sau divergentă), cunoscând natura unei alte serii şi testând anumite relaţii între termenii celor două serii.