Гипотеза Артина

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Открытая проблема в Теории чисел, касающаяся существования модулей, по которым данное число является первообразным корнем.

[править] Постановка задачи

2 является первообразным корнем по модулю 3: 2¹ ≡ 2 (mod 3), 2² ≡ 1 (mod 3), чем исчерпываются все возможные остатки по модулю 3. То же самое число 2 является первообразным корнем по модулю 5: 2¹ ≡ 2 (mod 5), 2² ≡ 4 (mod 5), 2³ ≡ 3 (mod 5), 2⁴ ≡ 1 (mod 5). А вот по модулю 7 двойка первообразным корнем не является, так как не существует такой степени, что $2^k \equiv 3 \pmod 7$ . Возникает вопрос, конечно или бесконечно количество таких простых чисел, что (например) 2 является первообразным корнем по их модулю. Гипотеза Артина, как раз утверждает, что

[править] Формулировка гипотезы

Для любого целого числа a, не являющегося точным квадратом, существует бесконечно много таких простых чисел p, что a есть первообразный корень по модулю p.

В настоящий ответ не известно даже, истинна ли гипотеза для конкретного числа a = 2.