Поле разложения
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Поле разложения многочлена — наименьшее поле, содержащее все корни данного многочлена. Точнее, расширение L поля K называется полем разложения многочлена p над полем K, если p разлагается над полем L на линейные множители:
- p(x) = a(x − x1)(x − x2)...(x − xn)
и при этом L = K(x1,x2,...,xn) (см. расширение ноля).
[править] Свойства
- Поле разложения, по определению, является конечным алгебраическим расширением поля K.
- Поле разложения многочлена существует для любого многочлена
![p\in K[x]](../../../math/3/6/a/36a6013b43f19ae5b9eaea971cbaee30.png)
и определено однозначно с точностью до изоморфизма, тождественного на K.
[править] Примеры
- Поле комплексных чисел
служит полем разложения многочлена x2 + 1 над нолем K вещественных чисел. - Любое конечное поле GF(q), где q = pn, есть поле разложения многочлена многочлена xq − x над простым подполем
.
