Проективная геометрия
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Проективная геометрия — раздел геометрии, изучающий проективные плоскости и пространства. Главная особенность проективной геометрии состоит в принципе двойственности, который прибавляет изящную симметрию во многие конструкции. Проективная геометрия может изучаться как с чисто геометрической точки зрения, так с аналитической (с помощью однородных координат) и с алгебраической, рассматривая проективную плоскость, как структуру над полем. Часто, и исторически, вещественная проективная плоскость рассматривается как Евклидова плоскость с добавлением «прямой в бесконечности».
Проективная геометрия дополняет Евклидову, предоставляя красивые и простые решения для многих задач, осложнённых присутствием параллельных прямых. Особенно проста и изящна проективная теория конических сечений.
Содержание |
[править] История
Хотя некоторые результаты, которые теперь причислены к проективной геометрии, восходят к работе таких древнегреческих геометров, как Папп Александрийский, проективная геометрия как таковая родилась в XVII веке из архитектурного черчения. Идея бесконечно далёких точек, где пересекаются параллельные прямые, появилась независимо у французского архитектора Жерара Дезарга и у немецкого астронома Иоганна Кеплера. Дезарг даже предложил, что может быть прямая, состоящая исключительно из бесконечно удалённых точек.
Наконец в XIX веке Понселе вывел проективное пространство из Евклидова, добавив прямую в бесконечности, на которой пересекаются все плоскости, параллельные данной, и доказал принцип дуальности. Позже фон Штаудт создал чисто синтетическую аксиоматизацию, объединяющюю эти прямые с остальными.
В конце XIX века Феликс Клейн предложил использовать для проективной геометрии однородные координаты, которые ранее ввели Мёбиус, Плюккер, и Фейербах.
[править] Терминология
Основные, оставленные без определения в стандартной аксиоматизации, понятия проективной геометрии — это точка и прямая. Совокупность точек на прямой называется рядом, а совокупность прямых, проходящих сквозь точку — пучком. Совокупность точек на прямых в пучке A, пересекаюцихся с прямой BC, определяет плоскость ABC. Принцип двойственности гласит, что любая конструкция проективной геометрии в n-мерном пространстве остаётся верной, если во всех случаях заменить (k)-мерные конструкции на (n-k-1)-мерные. Так, любая конструкция в проективной плоскости остаётся верной, если заменить точки на прямые и прямые на точки.
Преобразование ряда прямой X в пучок точки x, не находящейся в этом ряду, или обратно, идентифицирует каждую точку в ряду с пересекающей её прямой из пучка и пишется X ⌅ x. Последовательность из нескольких таких преобразований (из ряда в пучок, потом обратно в ряд, и так далее) называется проективностью. Перспективность — это последовательность из двух проективностей (пишется X ⌆ X′). Перспективность двух прямых проходит сквозь центр O, а перспективность двух точек — сквозь ось o. Точка инвариантна по отношению к проективности, если проективность преобразует её в ту же точку.
Треугольник — это три точки, соединённые попарно прямыми. Полный четырёхугольник — это четыре точки (вершины) в одной плоскости, из которых никакие три не коллинеарны, соединённые попарно прямыми. Пересечение двух из этих прямых, не являющееся вершиной, называется диагональной точкой. Полный четырёхгранник определяется аналогично, но с точками вместо прямых и прямыми вместо точек. Аналогично можно определить полный n-угольник и полный n-гранник.
Два треугольника перспективны если они могут быть соединены с помощью перспективности, то есть их грани пересекаются на коллинеарных точках (перспективность сквозь прямую) или их вершины соединены конкурентными прямыми (перспективность сквозь точку).
[править] Основные подходы
Есть три главных подхода к проективной геометрии: независимая аксиоматизация, дополнение Евклидовой геометрии, и структура над полем.
[править] Аксиоматизация
Проективное пространство можно определить с помощью разного набора аксиом. Коксетер предоставляет следующие:
- Существует прямая и точка не на ней.
- На каждой прямой есть по крайней мере три точки.
- Через две точки можно провести ровно одну прямую.
- Если A, B, C, и D — различные точки и AB и CD пересекаются, то AC и BD пересекаются.
- Если ABC — плоскость, то существует по крайней мере одна точка не в плоскости ABC.
- Две различные плоскости пересекаются по крайней мере в двух точках.
- Три диагональные точки полного четырёхугольника не коллинеарны.
- Если три точки на прямой X инвариантны по отношению к проективности φ, то все точки на X инвариантны по отношению к φ.
Проективная плоскость (без третьего измерения) определяется несколько другими аксиомами:
- Через две точки можно провести ровно одну прямую.
- Любые две прямые пересекаются.
- Существует четыре точки, из которых нет трёх коллинеарных.
- Три диагональные точки полных четырёхугольников не коллинеарны.
- Если три точки на прямой X инвариантны по отношению к проективности φ, то все точки на X инвариантны по отношению к φ.
- Теорема Дезарга: Если два треугольника перспективны сквозь точку, то они перспективны сквозь прямую.
При наличии третьего измерения, теорема Дезарга может быть доказана.
[править] Дополнение Евклидовой геометрии
Исторически, проективное пространство было впервые определено, как дополнение Евклидова бесконечно удалённой плоскостью. Каждая точка на этой плоскости соответствует направлению в пространстве и является местом пересечения всех прямых в этом направлении. Естественно, обратному направлению соответствует та же точка.
[править] Структура над полем
n-мерное проективное пространство над полем F определяется с помощью системы однородных координат над F, то есть множества ненулевых (n+1)-векторов из элементов F. Точка и прямая определяются как множество векторов, отличающихся умножением на константу. Точка x находится на прямой X если скалярное произведение X ⋅ x = 0. Таким образом, имея прямую X, мы можем определить линейное уравнение X ⋅ x = 0, определяющее ряд точек на X. Из этого следует, что точки x, y, и z коллинеарны, если X ⋅ x = X ⋅ y = X ⋅ z = 0 для какой-нибудь прямой X.
[править] Важные теоремы
[править] Источники
Коксетер, Гарольд Скотт Макдональд. Projective Geometry — Нью-Йорк: Springer-Verlag, 1987. ISBN 0-387-40623-9
