Распределение хи-квадрат

**Распределение хи-квадрат**
Плотность вероятности k - число степеней свободы
Функция распределения k - число степеней свободы
Параметры	$n > 0\,$ число степеней свободы
Носитель	$x \in [0; +\infty)\,$
Плотность вероятности	$\frac{(1/2)^{n/2}}{\Gamma(n/2)} x^{n/2 - 1} e^{-x/2}\,$
Функция распределения	$\frac{\gamma(n/2,x/2)}{\Gamma(n/2)}\,$
Математическое ожидание	$n\,$
Медиана	примерно $n-2/3\,$
Мода	$n-2\,$ если $n\geq 2\,$
Дисперсия	$2\,n\,$
Коэффициент асимметрии	$\sqrt{8/n}\,$
Коэффициент эксцесса	$12/n\,$
Информационная энтропия	$\frac{n}{2}\!+\!\ln\left[2\Gamma\left({n \over 2}\right)\right]\!+\!\left(1\!-\!\frac{n}{2}\right)\psi\left(\frac{n}{2}\right)$ $ψ(x) = Γ'(x) / Γ(x).$
Производящая функция моментов	$(1-2\,t)^{-n/2}$ , если $2\,t<1\,$
Характеристическая функция	$(1-2\,i\,t)^{-n/2}\,$

Распределение $χ 2$ (хи-квадрат) с $n$ степенями свободы — это распределение суммы квадратов $n$ независимых стандартных нормальных случайных величин.

[править] Определение

Пусть $X_1, \ldots, X_n$ — совместно независимые стандартные нормальные случайные величины, то есть: $X_i \sim N(0,1)$ . Тогда случайная величина

$Y = X_1^2 + \cdots + X_n^2$

имеет распределение хи-квадрат с $n$ степенями свободы, обозначаемое $χ 2 (n)$ .

Замечание. Распределение хи-квадрат является частным случаем Гамма распределения:

$\chi^2(n) \equiv \Gamma\left({1 \over 2}, {n \over 2}\right)$ .

Следовательно, плотность распределения хи-квадрат имеет вид

$f_{\chi^2(n)}(x) = \frac{(1/2)^{n \over 2}}{\Gamma\left({n \over 2}\right)}\, x^{{n \over 2} - 1}\, e^{-\frac{x}{2}}$ ,

$F_{\chi^2(n)}(x) = \frac{\gamma\left({n \over 2}, {x \over 2}\right)}{\Gamma\left({n \over 2}\right)}$ ,

где $Γ$ и $γ$ обозначают соответственно полную и неполную гамма-функции.

Распределение хи-квадрат устойчиво относительно суммирования. Если $Y 1, Y 2$ независимы, и $Y_1 \sim \chi^2(n_1)$ , а $Y_2 \sim \chi^2(n_2)$ , то

$Y_1 + Y_2 \sim \chi^2(n_1 + n_2)$ .

Из определения легко получить моменты распределения хи-квадрат. Если $Y \sim \chi^2(n)$ , то

$\mathbb{E}[Y] = n$ ,

D[Y] = 2 n

В силу Центральной Предельной Теоремы, при большом числе степеней свободы распределение случайной величины $Y \sim \chi^2(n)$ может быть приближено нормальным $Y \approx N( n, 2n )$ . Более точно

$\frac{Y-n}{\sqrt{2n}} \to N(0,1)$ по распределению при $n \to \infty$ .

Если $X_1 ,\ldots , X_n$ независимые нормальные случайные величины, то есть: $X_i \sim N(\mu,\sigma^2),\; i=1,\ldots, n$ , то случайная величина

$Y = \sum_{i=1}^n \left(\frac{X - \mu}{\sigma}\right)^2$

имеет распределение хи-квадрат.

Если $n = 2$ , то распределение хи-квадрат совпадает с экспоненциальным распределением:

$\chi^2(2) \equiv \mathrm{Exp}(2)$ .

$F = \frac{Y_1/n_1}{Y_2 / n_2}$

имеет распределение Фишера со степенями свободы $(n 1, n 2)$ .

	Вероятностные распределения
	Одномерные	Многомерные
Дискретные:	Бернулли \| биномиальное \| геометрическое \| гипергеометрическое \| логарифмическое \| отрицательное биномиальное \| Пуассона \| равномерное	мультиномиальное
Абсолютно непрерывные:	Бета \| Вейбулла \| Гамма \| Колмогорова \| Коши \| логнормальное \| Лоренца \| нормальное \| равномерное \| Парето \| Стьюдента \| Фишера \| хи-квадрат \| экспоненциальное \| Эрланга	многомерное нормальное