Теорема Паскаля
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Теоре́ма Паска́ля гласит:
|
Если шестиугольник вписан в окружность либо любое другое коническое сечение (эллипс, параболу, гиперболу, даже пару прямых), то точки пересечения трёх пар противоположных сторон лежат на одной прямой. |
Теорема Паскаля двойственна к теореме Брианшона.
Самое короткое доказательство основано на теореме Безу.
[править] Вариации и обобщения
Теорема верна и в том случае, когда две или даже три соседних вершины совпадают (но не более чем по две в одной точке). В этом случае в качестве прямой, проходящей через две совпадающие вершины, принимается касательная к линии в этой точке.
В частности:
|
Касательная к линии 2-го порядка, проведенная в одной из вершин вписанного пятиугольника, пересекается со стороной, противоположной этой вершине, в точке, которая лежит на прямой, проходящей через точки пересечения остальных пар несмежных сторон этого пятиугольника. |
|
Если ABCD ― четырехугольник, вписанный в линию 2-го порядка, то точки пересечения касательных в вершинах С и D соответственно со сторонами AD и ВС и точка пересечения прямых А В и CD лежат на одной прямой. |
|
Точки пересечения касательных в вершинах треугольника, вписанного в линию 2-го порядка, с противоположными сторонами лежат на одной прямой. |
В 1847 появилось обобщение теоремы Паскаля, сделанное Мёбиусом, которое звучит так:
|
Если многоугольник с 4n + 2 сторонами вписан в коническое сечение и противоположные его стороны продолжены таким образом, чтобы пересечься в 2n + 1 точке, то если 2n этих точек лежат на прямой, последняя точка будет лежать на той же прямой. |
Теорема Киркмана:
|
Пусть точки A, B, C, D, E и F лежат на одном коническом сечении. Тогда прямые Паскаля шестиугольников ABFDCE, AEFBDC и ABDFEC пересекаются в одной точке. |
[править] История
Впервые сформулирована и доказана Блезом Паскалем в возрасте 16 лет как обобщение теоремы Паппа.
[править] Ссылки
- Р.Курант, Г.Роббинс, Что такое математика? Глава IV, §5.3.
- Живые чертежи (на Java)
