Sebaran chi-kuadrat

Ti Wikipédia, énsiklopédi bébas

Keur satiap positip integer $k$ , sebaran chi-kuadrat nu mibanda k tingkat kabebasan nyaeta probability distribution variabel acak

$X=Z_1^2 + \cdots + Z_k^2$

numana Z₁, ..., Z_k ngarupakeun variabel normal bebas, masing-masing nilai ekspektasi 0 jeung varian 1. Sebaran ieu biasa ditulis

$X\sim\chi^2_k$

Lamun $p$ watesan linier homogen bebas ditumpukeun dina ieu variabel, kayaan sebaran $X$ dina watesan ieu nyaeta $\chi^2_{k-p}$ , dipastikeun salaku watesan "tingkat kabebasan". Characteristic function sebaran Chi-kuadrat nyaeta

φ(t) = (1 - 2 i t) k / 2 .

Sebaran chi-kuadrat ngabogaan aplikasi numeris dina kaputusan statistik, contona dina tes chi-kuadrat jeung estimasi varian. Ieu bisa diasupkeun kana masalah estimasi mean dina populasi sebaran normal jeung masalah estimasi slope dina garis regression ku aturan dina sebaran-t student. Ieu diasupkeun kana sakabeh masalah analisa varian ku aturan dina sebaran-F, nu ngarupakeun sebaran perbandingan dua chi-kuadrat variabel acak.

Rumus probability density function nyaeta

$p_k(x) = \frac{(1/2)^{k/2}}{\Gamma(k/2)} x^{k/2 - 1} e^{-x/2} \quad \mbox{ for }x > 0$

jeung p_k(x) = 0 keur x≤0. Di dieu Γ ngalambangkeun fungsi gamma.

[édit] Pendekatan normal

Lamun $X\sim\chi^2_k$ , saterusna $k$ nuju ka takterhingga, sebaran $X$ nuju ka normal. Sanajan kitu, kacenderunganna lalaunan (skewness nyaeta $8 / k$ jeung kurtosis nyaeta $12 / k$ ) sarta dua transpormasi umumna diperhatoskeun, unggal pendekatan normal leuwih gancang tinimbang $X$ sorangan:

Fisher nembongkeun yen $\sqrt{2X}$ ngadeukeutan sebaran normal nu mibanda mean $\sqrt{2k-1}$ jeung unit varian.

Wilson and Hilferty dina taun 1931 nembongkeun yen $\sqrt[3]{X/k}$ nyaeta pendekatan sebaran normal nu mibanda mean $1 - 2 / (9 k)$ jeung varian $2 / (9 k)$ .

Nilai ekspektasi tina variabel random ngabogaan sebaran chi-kuadrat nu mibanda k tingkat kabebasan k jeung varian nyaeta 2k. Median dina ieu kaayaan dideukeutan ku

$k-\frac{2}{3}+\frac{4}{27k}-\frac{8}{729k^2}.$