Grupp (matematik)

Wikipedia

En grupp är en typ av algebraisk struktur, vars studium inom abstrakt algebra kallas gruppteori.

Innehåll

1 Historia
2 Definition
3 Isomorfi
4 Viktiga klasser av grupper
5 Exempel
6 Operationer på grupper
- 6.1 Kvotgrupper
- 6.2 Direkt summa av grupper
7 Se även

[redigera] Historia

Detta avsnitt är bara påbörjat. Du kan hjälpa till genom att fylla i mer.

[redigera] Definition

En grupp $(S, * )$ består av en mängd S, en binär operator betecknad med * på S, samt en unär operator $\tilde{}$ som uppfyller följande villkor:

Om $s 1$ och $s 2$ tillhör mängden S, så finns ett unikt element $s = s 1 * s 2$ i S
$\forall \ r,s,t \in S$ gäller $(r * s) * t = r * (s * t)$ , d.v.s. operationen är associativ.
$\exists \ e \in S$ sådan att $e*s=s*e=s \ \ \forall s \in S$ .
$\forall \ s \in S$ så $\exists \ \tilde{s} \in S$ sådant att $s*\tilde{s}=\tilde{s}*s=e$ .

Elementet e kallas identiteten i gruppen och $\tilde{s}$ kallas inversen till s.

Man kan enkelt visa att identiteten i en grupp är unik, samt att inversen till ett givet element i gruppen är unik.

En grupp som dessutom uppfyller villkoret r*s=s*r för alla r och s sägs vara kommutativ eller vanligare Abelsk, efter den norske matematikern Niels Henrik Abel.

En delgrupp till en grupp $(G, * )$ är en delmängd till $G$ som i sig är en grupp med samma operator.

I generell gruppteori noterar man ofta gruppoperationen som multiplikation, dvs $r * s$ noteras $r s$ , inversen till $s$ noteras $s - 1$ . Man kan då också definiera potenser, $s n$ som produkten av $n$ likadana faktorer $s$ . För negativa exponenter gäller $s - n = (s - 1) n$ . För abelska grupper använder man ofta additiv notation, varvid gruppoperationen skrivs $r + s$ och inversen $- s$ . En summa $s+\cdots+s$ av n lika element skrivs då $n s$ .

[redigera] Isomorfi

Två grupper $(G, * )$ och $(H,\circ)$ kallas isomorfa om det finns en gruppisomorfism mellan dem, dvs en bijektiv avbildning $f:G\rightarrow H$ sådan att $f(a*b)=f(a)\circ f(b)$ . Noteras ofta $(G,*)\cong(H,\circ)$ . Isomorfi är en ekvivalensrelation och delar alltså upp mängden av alla grupper i isomorfiklasser. Ur en abstrakt synvinkel ser man isomorfa grupper som en och samma grupp.

[redigera] Viktiga klasser av grupper

En ändlig grupp är en grupp med ändligt många element. Antalet element kallas gruppens ordning.

Den cykliska gruppen genererad av ett element $a$ består av alla potenser av $a$ . Noteras ofta $\langle a \rangle$ . Varje cyklisk grupp är isomorf med antingen $(\Bbb{Z},+)$ eller $(\Bbb{Z}_n,+)$ genom att $a\mapsto 1$ definierar en isomorfism.

Den symmetriska gruppen $S n$ är gruppen av alla permutationer av en mängd med $n$ element. Varje grupp är isomorf med en delgrupp till en symmetrisk grupp, den som består av permutationer av gruppen själv.

[redigera] Exempel

Heltalen $\Bbb{Z}$ med addition, betecknas $(\Bbb{Z},+)$ , är en oändlig cyklisk grupp som genereras av 1 eller -1.
De nollskilda rationella talen $\Bbb{Q}^*$ med multiplikation, betecknas $(\Bbb{Q}^*,\cdot)$
De nollskilda reella talen $\Bbb{R}^*$ med multiplikation, betecknas $(\Bbb{R}^*,\cdot)$
De nollskilda komplexa talen $\Bbb{C}^*$ med multiplikation, betecknas $(\Bbb{C}^*,\cdot)$
Talen $\{0,1,2, \cdots ,n-1\}$ och addition modulo n, betecknas $(\Bbb{Z}_n,+)$ , är en ändlig cyklisk grupp. Varje element som är relativt primt med 'n' genererar gruppen.

[redigera] Operationer på grupper

[redigera] Kvotgrupper

Givet en grupphomomorfi $G\rightarrow H$ kan man visa att bilden av homomorfin utgör en delgrupp till H, samt att kärnan K, dvs de element i G som avbildas på enhetselementet i H, utgör en delgrupp till G.

Det visar sig att bilden kan återskapas upp till isomorfi enbart utifrån G och delgruppen K, nämligen som kvotgruppen av G med avseende på K. Mer allmänt kan man alltid givet en grupp G och en s.k normal delgrupp N konstruera kvoten G/N enligt följande:

Låt N vara en delgrupp till G. Givet ett element $g\in G$ definierar vi den vänstra sidoklassen gN till N med avseende på g som mängden av element på formen gn för något element $n\in N$ , samt den högra sidoklassen Ng som mängden av element på formen ng gör något element $n\in N$ . Man kan visa att varje element i g kommer att tillhöra en och endast en vänster- respektive höger sidoklass.

Delgruppen N sägs vara normal om för varje g så gäller gN=Ng.

För en normal delgrupp N till G definieras nu kvotgruppen G/N som mängden av sidoklasser tillsammans med den operation som ges av gN*g'N=gg'N. Man kan visa att detta ger en väldefinierad operation.

Det finns nu en naturlig grupphomomorfi $G\rightarrow G/N$ som ges av $g\rightarrow gN$ . N kommer att vara kärnan för denn homomorfi, och G/N är bilden.

[redigera] Direkt summa av grupper

Givet två grupper G och H kan man definiera deras direkta summa $G\oplus H$ som mängden av par $\{(g,h)\mid g\in G, h\in H \}$ med operationen (g,h)*(g',h')=(gg',hh'). Enhetselementet utgörs av $(e G, e H)$ och inversen till (g,h) ges av $(g - 1, h - 1)$ . Från $G\oplus H$ finns nu projektionsavbildningar till G respektive H vars kärna är H respektive G, så att H är kvoten av $G\oplus H$ med delgruppen $G\oplus \{1\}$ och vice versa.