Геометрична прогресія

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

В математиці, геометрична прогресія це послідовність чисел, таких що відношення будь-якого елемента послідовності до попереднього є сталим числом що називається знаменником прогресії.

Приклади:

послідовність степенів 2 є геометричною прогресією: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ....

геометрична прогресія із першим елементом 3, та знаменником -1: 3, −3, 3, −3, 3, −3, 3, −3, 3, −3, ....

Знайдемо суму геометричної прогресії

$s_n = a(r^0+r^1+r^2+r^3+...+r^{n-1})\,$

Помножимо та поділимо обидві частини на $(1-r)\,$ (r не може бути 1), добуток $(1+r+r^2+r^3+...+r^{n-1})\,$ на $(1-r)\,$ дає $(1-r^n)\,$ , оскільки решта елементів взаємно скорочуються, звідси отримаємо:

$s_n = a\sum_{k=0}^{n-1} r^k=a\frac{r^{n}-1}{r-1}$

Геометрична прогресія має цiкаву властивiсть:

$a(r^0+r^1+r^2+r^3+r^4+r^5+r^6+r^7+r^8+...) = a(r^0+r^1+r^2)(r^0+r^3+r^6+...)\,$

Наприклад, (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 +...) можна записати як (1 + 2 + 4)(1 + 8 + 64 +...)

Формула для суми геометричної прогресії також зручна для обрахунку відсотків по банківських вкладах. Припустимо Ви кладете $2,000 в банк кожного року під 5% річних. Скільки грошей Ви матимете на рахунку через 6 років?

2,000 · 1.05⁶ + 2,000 · 1.05⁵ + 2,000 · 1.05⁴ + 2,000 · 1.05³ + 2,000 · 1.05² + 2,000 · 1.05¹

= 2,000 · (1.05⁷ − 1.05)/(1.05 − 1)

= 14,284.02