Диференціальні рівняння

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Теорія диференціальних рівнянь — розділ математики, що займається вивченням диференціальних рівнянь і пов'язаних з ними задач. Їх результати застосовуються в багатьох природничих науках, особливо широко — у фізиці.

Простіше кажучи, диференціальне рівняння — це рівняння, в якому невідомою величиною є деяка функція. При цьому, в самому рівнянні бере участь не тільки невідома функція, але й різні її похідні. Диференціальним рівнянням описується зв'язок між невідомою функцією та її похідними. Такі зв'язки віднаходяться в різних областях знань: у механіки, фізиці, хімії, біології, економіці та ін.

Розрізняють звичайні диференціальні рівняння і диференціальні рівняння в частинних похідних. Більш складними є інтегро-диференціальні рівняння.

Спочатку диференціальні рівняння виникли з задач механіки, в яких брали участь координати тіл, їх швидкості та прискорення, розглянуті як функції від часу.

[ред.] Звичайні диференціальні рівняння

Звичайні диференціальні рівняння — це рівняння виду $F (t, x, x', x'',..., x (n)) = 0$ , де $x = x (t)$ — невідома функція (можливо, вектор-функція; в такому випадку часто говорять про систему диференціальних рівнянь), що залежить від змінної часу $t$ , штрих означає диференціювання по $t$ . Число $n$ називається порядком диференціального рівняння.

[ред.] Диференціальні рівняння в частинних похідних

Диференціальні рівняння в частинних похідних - це рівняння, що містять невідомі функції від декількох змінних та їх частинних похідних.

[ред.] Приклади

Другий закон Ньютона можна записати у формі диференціального рівняння $m \frac{d^2 x}{dt^2}= F(x,t)$ , де $m$ -- маса тіла, $x$ -- його координата, $F (x, t)$ -- сила, діюча на тіло з координатою $x$ у момент часу $t$ . Його розв'язком є траєкторія руху тіла під дією вказаної сили.
Коливання струни задається рівнянням $\frac{\partial{}^2 u}{\partial t^2}=a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x}$ , де $u = u (x, t)$ -і відхилення струни в точці з координатою $x$ у момент часу $t$ , параметр $a$ задає властивості струни.