正规数
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数学上，粗略来说，一个实数是正规数，如果它的数字显示出随机分布，每个数字出现机会均等。「数字」指的是小数点前有限个数字（整数部份），以及小数点后无穷数字序列（分数部份）。
设b是大于1的整数，x是实数。考虑以b为底的位值记数法中x的数字序列。若s是以b为底的有限数字序列，我们以N(s,n)表示字串s在x的开首n个数字出现次数。数x称为以b为底正规若对任意长度k的字串s
。
（即是说在x的数字中找到字串s的概率，就像在完全随机生成的数字序列中的一样。）x称为正规数（有时称为绝对正规数） 如果以任何b为底x都是正规。
这个概念是由愛彌兒·波萊爾(Émile Borel)在1909年创造。用波萊尔—坎特利引理，他证明了正规数定理：几乎所有实数是正规的，意思是非正规数集合的勒贝格测度为0。这定理证明存在正规数，但首先给出一个例子的是瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基(Wacław Sierpiński)。
非正规数集合是不可数的，这个结果容易得出，想法是从每个实数中完全除去一个数字。
钱珀瑙恩数(Champernowne)
- 0.1234567891011121314151617...
是从连结所有自然数的数字而得出的数，它以10为底正规，但在某些底不是正规。科普兰—艾狄胥常数(Copeland-Erdős)
- 0.235711131719232931374143...
从连结所有质数的数字而得出的数，也是以10为底正规。
有理数在任何底都不是正规，因为它们的数字序列最终会循环出现。瓦茨瓦夫·谢尔品斯基在1917年给出第一个明确构造的一个正规数。韋羅妮卡·比彻(Verónica Becher)和桑蒂亞戈·菲盖拉(Santiago Figueira)构造一个可计算正规数；蔡廷常数(Chaitin)Ω给出一个不可计算的正规数例子。
要证明一个不是明确构造为正规数的数的正规性非常困难。例如2的平方根
、圆周率π、2的自然对数ln2和e是否正规仍不知道。（但基于实验证据，猜想它们很可能是正规数。）证明仍遥不可及：就连哪些数字在这些常数的10进表示法无穷次出现仍不知道。大卫·贝利(David H. Bailey)和理查德·克兰德尔(Richard E. Crandall)在2001年猜想每个无理代数数是正规的，雖没有找到反例，卻還没有一个这样的数被证明在每个底都是正规的。
[编辑] 参考
- Bailey, D. H. and Crandall, R. E. "On the Random Character of Fundamental Constant Expansions." Experimental Mathematics 10, 175-190, 2001. online version
- Becher, V. and Figueira, S. "An example of a computable absolutely normal number", Theoretical Computer Science, 270, pp. 947-958, 2002.
- Borel, E. "Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmétiques." Rend. Circ. Mat. Palermo 27, 247-271, 1909.
- Champernowne, D. G. "The Construction of Decimals Normal in the Scale of Ten." Journal of the London Mathematical Society 8, 254-260, 1933.
- Sierpiński, W. "Démonstration élémentaire d'un théorème de M. Borel sur les nombres absolutment normaux et détermination effective d'un tel nombre." Bull. Soc. Math. France 45, 125-144, 1917.
