群基本定理
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我们称(G,*)为一个群，如果：
G是一个非空集合，*是定义在G上的一个代数运算（a*b简写为ab），并且满足如下条件：
- 1) *满足交换律，也就是说对G中的任意元素a、b和c有(ab)c=a(bc).
- 2) G中存在一个单位元素e，满足对G中的任意元素a有ae=a.
- 3) 对于G中任意一个元素a，G中存在一个a的逆元a-1使得aa-1=e.
[编辑] 基本定理
- 定理1.1
- 对于G中任意的元素a和b，如果ab=e，那幺ba=e
- 证明：由3)可知，对于b有c∈G使得bc=e
- 则a=ae=a(bc)=(ab)c=ec
- 再左乘b可得ba=b(ec)=(be)c=bc=e
- 定理1.2
- 如果对G中任意元素a有ae=a，那幺也有ea=a
- 证明：取b∈G，使得ab=e，那幺由定理1.1可知ba=e
- 则a=ae=a(ba)=(ab)a=ea
- 定理1.3
- 单位元素是唯一的
- 证明：如果G中存在两个单位元素e1和e2，那幺由定理1.2可得
- e1=e1e2=e2
[编辑] 参考书目
《代数学引论》 第二版 ISBN 7-04-008893-2 聂灵沼、丁石孙著，高等教育出版社出版
