Ισοσκελές τρίγωνο

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Ισοσκελές τρίγωνο στη γεωμετρία είναι ένα τρίγωνο του οποίου δύο πλευρές είναι ίσες μεταξύ τους. Ειδική περίπτωση ισοσκελούς τριγώνου είναι το ισόπλευρο τρίγωνο.

[Επεξεργασία] Το ισοσκελές τρίγωνο στην ευκλείδεια γεωμετρία

• Αν ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές τότε οι προσκείμενες στη βάση γωνίες του είναι ίσες.

Απόδειξη: Θεωρούμε το ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ, όπου ΑΒ = ΑΓ. Φέρνουμε τη διχοτόμο ΑΔ. Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΔ είναι τότε ίσα σύμφωνα με το κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς, επομένως θα είναι Β = Γ (ισότητα γωνιών).

• Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο η διχοτόμος, η διάμεσος και το ύψος που άγονται από την κορυφή του ταυτίζονται.

Απόδειξη: Θα χωρίσουμε την απόδειξη σε τρία μέρη: Η διχοτόμος της κορυφής είναι διάμεσος και ύψος. Από την ισότητα των τριγώνων ΑΒΔ και ΑΓΔ παίρνουμε ΒΔ = ΓΔ, άρα η ΑΔ είναι διάμεσος. Επίσης παίρνουμε ΑΔΒ = ΑΔΓ (ισότητα γωνιών). Επειδή οι γωνίες αυτές είναι παραπληρωματικές θα είναι αναγκαστικά ορθές, άρα η ΑΔ είναι ύψος. Η διάμεσος που άγεται από την κορυφή είναι διχοτόμος και ύψος. Φέρνουμε τη διάμεσο ΑΔ. Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΔ είναι ίσα από το κριτήριο πλευράς-πλευράς-πλευράς. Τότε θα έχουμε Α₁ = Α₂ (ισότητα γωνιών), άρα η ΑΔ είναι διχοτόμος. Επίσης έχουμε Δ₁ = Δ₂ (ισότητα γωνιών). Επειδή αυτές είναι παραπληρωματικές θα είναι αναγκαστικά ορθές, άρα η ΑΔ είναι ύψος. Το ύψος που άγεται από την κορυφή είναι διχοτόμος και διάμεσος. Αυτό προκύπτει από την ισότητα των ορθογώνιων τριγώνων ΑΒΔ και ΑΓΔ, τα οποία έχουν μία κάθετη πλευρά κοινή και την υποτείνουσα ίση.