منطق رياضي
من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
[تحرير] عناصر المنطق
[تحرير] مدخل عام
[تحرير] جملة
الجملة في مجموعة حروف و رموز لها معنى, مثال:
- 2+3=5
- 5+9=48
من الممكن دراسة هذه العبارات من وجهات نظر مختلفة, مثلا المتغيرات تأخد قيما متعددة نرمز لها عادة ب x . كما يمكن دراسة صحة أو خطأ العبارة.
[تحرير] عبارة
تصبح الجملة عبارة إذا أمكن معرفة صحة أو خطأ العبارة نسمي عبارة كل نص رياضي له معنى و يكون إما صحيحاو إما خاطئا أما الدالة العبرية ( خاصية لمتغير) فهي كل نص رياضي له معنى و يحتوي على متغير و يصبح عبارة كلما عوضنا المتغير بقيمة معينة
جًمل منطقية [الجمل الفعلية مفيدة] يمكن الحكم عليها بالصح أوالخطأ وليس كليهما القضية المنطقية { تعريف} هي جملة خبرية مفيدة يحتمل معناها الصواب أو الخطأ وليس كليهما من أمثلة الجمل التي تكون قضايا 1) 2+3=7 2) صنعاء عاصمة اليمن 3) مجموع زوايا المثلث 250 ْ ملاحظة : ليس من الضروري أن تكون الجملة صحيحة جًمل ليست منطقية [الجمل الإسمية] والتي لا يمكن الحكم عليها بالصح أوالخطأ من أمثلة الجمل التي لا تكون قضايا الجمل التي تيدأ أستفهام – سؤال – تعجب – نداء – طلب ... بصورة عامة كل الجمل التي لا يمكن الحكم عليها بالصح أوالخطأ مثل : 1) ما أجمل السماء ! 2) كم الساعة ؟
[تحرير] النفي
نفي العبارة P هي عبارة صحيحة إذا كانت P خاطئة, و خاطئة إذا كانت P صحيحة. و نرمز لنفي P ب 
.
| P | |
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
[تحرير] العطف
عطف العبارتين p و Q تكون صحيحة فقط إذا كانت العبارتين معا صحيحتين. ونرمز له ب 
| P | Q | |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
[تحرير] الفصل
فصل العبارتين p و Q تكون صحيحة فقط إذا كانت إحدى العبارتين صحيحة. ونرمز له ب 
| P | Q | |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
[تحرير] الاستلزام
تكون العبارة P تستلزم Q ، خاطئة فقط إذا كانت P صحيحة و Q خاطئة.
و نرمز لها ب: 
و هي تكافئ العبارة: 
.
| P | Q | |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
[تحرير] التكافؤ
تكافؤ العبارتين 
و 
هو 
, و نرمز له ب: 
| P | Q | |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
[تحرير] القوانين المنطقية
القوانين المنطقية عبارة عن جمل مكونة من عدة عبارات مرتبطة فيما بينها بروابط منطقية و تكون دائما صحيحة بغض النظر عن صحة أو خطأ العبارات المكونة لها.
أمثلة:
المثالين الأخيرين, يعرفان بقوانين مرجان morgan.
[تحرير] الدوال العبارة. استعمال الكموميات
[تحرير] دوال العبارة
الدالة العبارة, هي تطبيق من مجموعة قيم المتغيرات نحو مجموعة مكونة من العنصرين صحيح و خطأ.
مثال:
بالنسبة للعبارة: "x عدد صحيح طبيعي, x+3=10." نحصل على دالة من 
إلى 
بحيث:
[تحرير] الكموميات
هناك نوعان وجودية و كونية.
- الوجودية تعني وجود عناصر تحقق عبارة ما, مثل يوجد x من بحيث:
نرمز للوجودية بالرمز 
.
- الكونية تعني أن عبارة ما تكون دائما صحيحة مهما تغيرت قيمة المتغير, مثل كيما كانت قيمة x من
لدينا 
نرمز للكونية بالرمز 
.
[تحرير] الكموميات و الروابط المنطقية
عندما يكون هناك وجوديات, النفي يعبر عنه ب:
![\neg [(\forall x \in\ E) A(x)] \Leftrightarrow [(\exists x \in\ E) \neg A(x)]](../../../math/d/8/d/d8dc646a68fe04cfa720ae910d753839.png)
![\neg [(\exists x \in\ E) A(x)] \Leftrightarrow [(\forall x \in\ E) \neg A(x)]](../../../math/2/b/a/2ba36d161aee4d726d142ffb7053740d.png)
مع E مجموعة تتضمن الخاصية A.
[تحرير] تطبيق على نظرية المجموعات
هناك علاقة بين نظرية المجموعات و المنطق.
[تحرير] الاستلزام و التضمن
نسمي جزء A(أو مجموعة صغرى) لمجموعة E كل عناصر المجموعة A التي تنتمي إلى E.
و نكتب:
نقول أن المجموعة A ضمن المجموعة E, يكافئ أن كل عنصر x من A, يستلزم أن xينتمي إلى E.
[تحرير] مجموعة الأجزاء
[تحرير] مجموعة الأجزاء
كل مجموعة لها عدة أجزاء, و هذه الأجزاء تكون مجموعة الأجزاء.
[تحرير] التساوي و التكافؤ
المجموعة A تساوي المجموعة B, تكافئ لكل x من x :E من A يكافئ x من B.
[تحرير] المتمم و النفي
متمم الجزء A, هو الجزء B الذي عناصره لا تنتمي إلى A.
x ينتمي إلى A, يكافئ x لا ينتمي إلى B.
[تحرير] التقاطع و العطف
تقاطع المجموعتين A و B, هي مجموعة العناصر المشتركة C, التي نرمز لها ب: 
.
x من C يكافئ: x من A و x من B.
[تحرير] الاتحاد و الفصل
اتحاد المجموعتين A و B, هي المجموعة C التي عناصرها تنتمي إلى أحد المجموعتين, و التي نرمز لها ب: 
.
x من C يكافئ: x من A أو x من B.
