Алтернативни дефиниции на топологично пространство

от Уикипедия, свободната енциклопедия

Тази статия се нуждае от подобрение.

Необходимо е: донаписване и привеждане в еднциклопедичен вид, защото тя биде изтръгната от сърцевината на статията "Топологично пространство". Ако желаете да помогнете на Уикипедия, просто щракнете на редактиране и нанесете нужните корекции.

Топологично пространство се задава според по-горе формулираната дефиниция, като се задават неговите отворени подмножества. Съществуват обаче и много други алтернативни начини за задаване на топологично пространство. Тогава първоначално се определят затворените подмножества, функциите затворена обвивка, вътрешност, контур или филтрите от околности, а понятието отворено множество бива дефинирано в последствие чрез тях.

Съдържание

1 Дефиниране чрез посочване на затворените множества
2 Дефиниране чрез задаване на затворените обвивки
3 Дефиниране чрез задаване на вътрешност
4 Дефиниране чрез задаване на филтри от околности

[редактиране] Дефиниране чрез посочване на затворените множества

Фамилия $F\,$ от подмножества на множеството $\mathcal{X}$ се нарича (затворена) топология или фамилия на неговите затворени подмножества, ако изпълнява следните свойства:

самото множество $\mathcal{X}$ и празното множество принадлежат на $F\,$ ,
сеченията на елементи на $F\,$ са елементи на $F\,$ ,
обединенията на краен брой елементи на $F\,$ са също елементи на $F\,$ .

Наредената двойка $(\mathcal{X},F)$ се нарича тополoгично пространство, а елементите на $F\,$ - затворени множества.

Фамилията $T\,$ на отворените подмножества на $\mathcal{X}$ се дефинира както следва:

$T=\{\mathcal{A}:\mathcal{A}=\mathcal{X}\setminus\mathcal{B}\}_{\mathcal{B}\in F}$

[редактиране] Дефиниране чрез задаване на затворените обвивки

Нека за всяко на множеството $\mathcal{A}\subset\mathcal{X}$ е определено множеството $\overline{\mathcal{A}}\subset\mathcal{X}$ , наречено затворена обвивка на $\mathcal{A}$ и изпълняващо следните условия:

$\overline{\mathcal{A}\cup\mathcal{B}}=\overline{\mathcal{A}}\cup\overline{\mathcal{B}}$
$\overline{\varnothing}=\varnothing$
$\mathcal{A}\subset\overline{\mathcal{A}}$
$\overline{(\overline{\mathcal{A}})}=\overline{\mathcal{A}}$

Множеството $\mathcal{X}$ заедно с функцията затворена обвивка се нарича тополoгично пространство.

Фамилията $F\,$ на затворените подмножества на $\mathcal{X}$ се дефинира както следва:

$F=\{\mathcal{B}:\overline{\mathcal{B}}=\mathcal{B};\mathcal{B}\subset\mathcal{X}\}$ ,

а фамилията $T\,$ на отворените подмножества на $\mathcal{X}$ :

$T=\{\mathcal{A}:\mathcal{A}=\mathcal{X}\setminus \overline{(\mathcal{X}\setminus\mathcal{A})};\mathcal{A}\subset\mathcal{X}\}$

[редактиране] Дефиниране чрез задаване на вътрешност

Нека за всяко множеството $\mathcal{A}\subset\mathcal{X}$ е определено множеството $Int(\mathcal{A})\subset\mathcal{X}$ , наречено вътрешност на $\mathcal{A}$ и изпълняващо следните условия:

$Int(\mathcal{A})\subset\mathcal{A}$
$Int(Int(\mathcal{A}))=Int(\mathcal{A})$
$Int(\mathcal{X})=\mathcal{X}$
$Int(\mathcal{A}\cap\mathcal{B})=Int(\mathcal{A})\cap Int(\mathcal{B})$

Множеството $\mathcal{X}$ заедно с функцията вътрешност се нарича тополoгично пространство.

$\mathcal{A}\,$ се нарича околност на $x\,$ ако $x\in Int(\mathcal{A})$ .

Oтворени са множествата, които са околности на всяка своя точка.

[редактиране] Дефиниране чрез задаване на филтри от околности

Нека за всяка точка $x\in\mathcal{X}$ е зададена фамилия от подмножества $\mathfrak{U}(x)\subseteq \mathcal{X}$ наречена филтър от околности на $x\,$ със свойствата:

$\mathcal{U}\in \mathfrak{U}(x) \Rightarrow x\in \mathcal{U}$
$\mathcal{U},\mathcal{V}\in\mathfrak{U}(x)\Rightarrow\mathcal{U}\cap\mathcal{V}\in\mathfrak{U}(x)$
$\mathcal{V}\subseteq\mathcal{U}\in\mathfrak{U}(x) \Rightarrow \mathcal{V}\in\mathfrak{U}(x)$
$\forall \mathcal{U}\in\mathfrak{U}(x)\ \exists\mathcal{V} \in\mathfrak{U}(x) : y\in\mathcal{V}\Rightarrow \mathcal{U}\in\mathfrak{U}(y) .$

$\mathcal{X}$ заедно с филтирите от околности задават топологичното пространство: $(\mathcal{X},\mathfrak{U}).$ Отворени в това топологично пространство са по дефиниция онези множества $\mathcal{A}$ , за които: