জ্যাকবি প্রতীক

উইকিপিডিয়া, মুক্ত বিশ্বকোষ থেকে

গণিতজ্ঞ্ররা সংখ্যা তত্বে জ্যাকবি প্রতীক ব্যবহার করে থাকেন। জার্মান গণিতবিদ কার্ল গুস্তাভ জ্যাকব জ্যাকবির নামে এর নামকরণ করা হয়েছে।

[সম্পাদনা] সংজ্ঞাঃ

ধরা যাক, n>0 একটি বিজোড় সংখ্যা এবং $p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k}$ হল n এর মৌলিক উৎপাদক রূপ। তাহলে যেকোন পূর্ণ সংখ্যা a এর জন্য জ্যাকবি প্রতীককে এভাবে সংজ্ঞায়িত করা যায়,

$\left(\frac{a}{n}\right) = \left(\frac{a}{p_1}\right)^{\alpha_1}\left(\frac{a}{p_2}\right)^{\alpha_2}\cdots \left(\frac{a}{p_k}\right)^{\alpha_k}$

[সম্পাদনা] জ্যাকবি প্রতীকের বৈশিষ্ট্য

n যদি মৌলিক সংখ্যা হয়, তাহলে জ্যাকবি প্রতীক, লিজেন্ড্রি প্রতীক এ পরিণত হয়।

$\left(\frac{a}{n}\right)\in \{0,1,-1\}$
$\left(\frac{a}{n}\right) = 0$ যদি $\gcd(a,n) \neq 1$
$\left(\frac{ab}{n}\right) = \Bigg(\frac{a}{n}\Bigg)\left(\frac{b}{n}\right)$
যদি a ≡ b (mod n) হয়, তাহলে $\Bigg(\frac{a}{n}\Bigg) = \left(\frac{b}{n}\right)$
$\left(\frac{1}{n}\right) = 1$
$\left(\frac{-1}{n}\right) = (-1)^{(n-1)/2}$ = 1 if n ≡ 1 (mod 4), এবং −1 if n ≡ 3 (mod 4)
$\left(\frac{2}{n}\right) = (-1)^{(n^2-1)/8}$ = 1 if n ≡ 1 or 7 (mod 8), এবং −1 যদি n ≡ 3 or 5 (mod 8)
$\left(\frac{m}{n}\right) = \left(\frac{n}{m}\right)(-1)^{(m-1)(n-1)/4}$